Induction mutuelle

Induction mutuelle

L'induction mutuelle est un coefficient permettant de décrire l'influence d'un circuit magnétique sur un autre. L'induction mutuelle traduit le fait qu'une variation de courant dans un circuit magnétique peut entraîner l'apparition d'une tension dans un autre circuit magnétique. L'induction mutuelle entre deux circuits est définie par le rapport entre le flux crée par un dipôle électrique traversant un second dipôle et le courant ayant créé ce flux.

Sommaire

Définition

thumbe

On considère les courbes C1 et C2 parcourues par des courants I1 et I2. Le courant I1 produit dans tout l'espace un champ magnétique B1. Le flux généré par le champ magnétique B1 a travers C2 est noté ϕ12.

\phi_{12} = \iint_{S_2} \vec{B_1}\cdot \vec{dS}

En utilisant le potentiel vecteur \vec{A}, on peut ré-écrire la relation précédente :

\phi_{12} = \iint_{S_2} \vec{B_1}\cdot \vec{dS} =\iint_{S_2} \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec A_1 \cdot \vec{dS}

En utilisant le théorème de Stokes, la relation précédente devient :

\phi_{12}=\iint_{S_2} \overrightarrow{\mathrm{rot}} \ \vec A_1 \cdot \vec{dS}= \oint_{C_2}\vec A_1 \cdot d \vec l_2

L'expression du potentiel vecteur généré par un circuit linéique C1 parcouru par un courant I1 s'écrit :

\overrightarrow{A_1} = {\mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{C_1} I_1 {\overrightarrow{dl} \over r_{12}}

L'expression finale du flux est :

\phi_{12}=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{c_2}\oint_{c_1} {\overrightarrow{dl_1} \cdot {\vec dl_2} \over r_{12}})

que l'on note : \phi_{12} = L_{12} \cdot I_1 avec L12 l'induction mutuelle entre le circuit C1 et le circuit C2.

L_{12}={ \mu_{0}\over 4 \pi}\oint_{c_2}\oint_{c_1} {\overrightarrow{dl_1} \cdot {\vec dl_2} \over r_{12}}

On remarque que L12 est inchangé par permutation des indices 1 et 2 dans les calculs d'où :

ϕ21 = L21I2 = L12I1

Interaction entre un fil rectiligne infini et une spire rectangulaire

Exemple 1 induction mutuelle.jpg

Le champ produit par un courant rectiligne infini se calcule très simplement par le théorème d'Ampère. Prenons I1 suivant l'axe Oz et un cercle de rayon r pour faire : \oint_c\vec{B_1(r)}\cdot \vec{dl(r)}= B_\theta (r)\oint_c r d\theta \vec{e_\theta}\cdot \vec{e_\theta}= B_{\theta} (r) r \cdot 2\pi = {\mu_{0}} I_1

On en déduit que :

\vec{B_1(r)}= B_\theta (r) \vec{e_\theta} = \frac {\mu_{0} I_1 } {2\pi r} \vec{e_\theta}

Si on a une spire rectangulaire dont deux côtés de longueur L sont parallèles au courant I1 et les deux autres perpendiculaires, il est facile de calculer

\phi_{12}=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 2 \pi} L\oint_{c_2} {dr \over r})=I_1 \cdot ({ \mu_{0}\over 2 \pi} L\ln {r_2 \over r_1})

et d'en déduire que L_{12}= ({ \mu_{0}\over 2 \pi }L\ln {r_2 \over r_1})

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