Circuits Magnétiquement Couplés

Circuits magnétiquement couplés

Des circuits magnétiquements couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulement d'un transformateur ou d'une machine électrique. On abrège souvent l'expression en Circuits couplés

Sommaire

1 Paramètres d'un ensemble de deux circuits magnétiquement couplés
- 1.1 Équations et schémas
2 Modèles usuels des circuits couplés

Paramètres d'un ensemble de deux circuits magnétiquement couplés

Équations et schémas

On représente en général deux bobines magnétiquement couplées à l'aide du montage suivant :

Circuits couplés 1.png

avec $L_1 \,$ et $L_2 \,$ les inductances propres de chacune des bobines et $M \,$ : l'inductance mutuelle.

Cette modélisation occulte totalement les non-linéarités, mais elle permet de faire une étude analytique approchée (et souvent suffisante) de nombreux dispositifs de l'électrotechnique, tel que les machines électriques et les transformateurs. Les résistances des bobines ne sont pas non plus représentées, car elles ne modifient pas les démonstrations ci dessous.

Pour des raisons pratiques et/ou historiques, c'est le montage ci-dessous qui est utilisé :

Circuits couplés 2.png

Ce deuxième montage ne fait plus apparaître l'inductance mutuelle et il comporte quatre paramètres au lieu de trois. Conventionnellement le circuit d'indice 1 est appelé circuit primaire et celui d'indice 2 circuit secondaire, en référence aux transformateurs.

$l_1 \,$ et $l_2 \,$ sont appelées inductances de fuite primaire et secondaire
$L_{\mu} \,$ est l'inductance de magnétisation ramenée au primaire.
$a \,$ est le rapport de transformation du transformateur idéal introduit dans cette modélisation.

Une analyse mathématique des deux montages permet de montrer qu'ils sont totalement équivalents si les relations suivantes sont vérifiées :

$L_{\mu} = \frac{M}{a} \,$

$l_1 = L_1 - \frac{M}{a} \,$

$l_2 = L_2 - a M \,$

Modèles usuels des circuits couplés

Modèle à fuites totalisées au primaire

Modèle à fuites primaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement secondaire. Le paramètre choisi est :

$l_2 = 0 = L_2 - a M \,$

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

$K_p = a = \frac{L_2}{ M} \,$

$L_p =L_{\mu} = \frac{M^2}{L_2} \,$

$L_{fp} = L_1 - L_{\mu} =L_1- \frac{M^2}{L_2} = \sigma L_1\,$

avec : $\sigma = 1- \frac{M^2}{L_1L_2} \,$ : coefficient de fuite ou coefficient de Blondel.

Ce modèle est particulièrement intéressant lorsqu'on s'intéresse aux effets de s inductances de fuite du circuit couplé sur l'alimentation du montage. Par exemple pour le dimensionnement du transformateur dans les alimentations à découpage de type fly-back.

Modèle à fuites totalisées au secondaire

Modèle à fuites secondaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement primaire. Le paramètre choisi est :

$l_1 = 0 = L_1 - \frac{M}{a} \,$

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

$K_s = a = \frac{M}{ L_1} \,$

$L_{\mu} = L_1 \,$

$l_{fs} =L_2- \frac{M^2}{L_1} = \sigma L_2\,$

Pour des raisons de commodité, il est fréquent de ramener l'impédance de fuite du côté primaire :

Modèle à fuites secondaires 2.png

Avec : $N_s \,$ : impédance ramenée au primaire de l'inductance de fuite secondaire $l_{fs} \,$ . Cette impédance ramenée ne doit pâs être confondue avec l'impédance de fuite primaire du précédent modèle.

$N_s = \frac{l_{fs}}{K_s^2} = L_1 \cdot (\frac{L_1L_2}{M^2} - 1)= L_1 \cdot \frac{\sigma}{1-\sigma}$

Ce modèle est très pratique pour calculer l'influence du circuit magnétique sur l'alimentation électrique quand celle-ci alimente le primaire. On l'utilise par exemple pour modéliser la machine asynchrone

Modèle à fuites séparées

Ce modèle est couramment utilisé pour les transformateurs.

On pose $a = m = \frac{n_2}{n_1} \,$ égal au rapport du nombre de spires de la bobine 2 par le nombre de spires de la bobine 1.

Modèle à fuites séparées.png

On obtient :

$L_{\mu} = \frac{M}{m} \,$

$l_1 = L_1 - \frac{M}{m} \,$

$l_2 = L_2 - m M \,$

On peut également ramener l'inductance de magnétisation au secondaire et obtenir le modèle équivalent suivant :

Modèle à fuites séparées 2.png

avec : $L_{2\mu} = \frac{L_{1\mu}}{m^2} \,$

Modèle en T

On pose $a = 1 \,$ ce qui revient à faire disparaître le transformateur du modèle :

Modèle en T.png

Attention ! : Ce modèle fonctionne parfaitement d'un point de vue mathématique mais il est parfois illusoire de vouloir trouver un sens physique aux trois dipôles qui le constitue.

Par exemple les valeurs de $L_1 -M \,$ ou de $L_2 -M \,$ peuvent être négatives, ce qui revient à dire, en régime sinusoïdal de courant, que l'inductance se comporte comme un condensateur !

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Catégorie : Dispositif électromagnétique

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