Géodésie physique (théorème de Chasles)

Géodésie physique (théorème de Chasles)

Théorème de Chasles

Michel Chasles (1793-1880)

Le théorème de Chasles est un théorème de géodésie physique. Considérons une fonction v harmonique à l'extérieur d'une surface Σ. Admettons en outre que Σ soit une surface équipotentielle. Ainsi, sur cette surface Σ on a v = vo, la quantité vo étant une constante arbitraire. Pour un point P extérieur à Σ, la représentation intégrale d'une fonction harmonique permet d'écrire

v(P) = -\frac1{4\pi} \iint_{\Sigma} r^{-1} \frac{\mathrm dv}{\mathrm dn} \mathrm d\sigma + \frac{v_o}{4\pi} \iint_{\Sigma} \frac{\mathrm dr^{-1}}{\mathrm dn} \mathrm d\sigma,

r désignant la distance de P à un point quelconque de Σ. Or, d'après la formule de Gauss-Bonnet pour un point extérieur, la deuxième intégrale du membre de droite s'annule, de sorte qu'on a

v(P) = -\frac1{4\pi} \iint_{\Sigma} r^{-1} \frac{\mathrm dv}{\mathrm dn} \mathrm d\sigma.

Cette formule est due à Michel Chasles (1793-1880). Elle montre que toute fonction harmonique peut se représenter par un potentiel de simple couche sur l'une quelconque de ses surfaces équipotentielles v = const. Dans le cas particulier où il s'agit d'un potentiel newtonien V d'un corps solide situé à l'intérieur de Σ, le théorème de Chasles indique qu'il est toujours possible de remplacer le corps solide par une simple couche de densité surfacique adéquate épousant l'une de ses surfaces équipotentielles extérieures sans changer le potentiel à l'extérieur de celle-ci. Ce théorème est à rapprocher du théorème d'unicité de Stokes.

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