Générateur infinitésimal

Générateur infinitésimal

Un générateur infinitésimal est un outil de stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.

Dans les chaînes de Markov à temps continu

  • Soit le processus stochastique \{X(t), t\geq0\} à temps continu et à états discrets.
  • Soit τi la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état i avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
P[τi > s + t | τi > t] = P[τi > s],
ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires τi suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
  • On notera pij(t) la probabilité que partant de l'état i à un instant s, on soit dans j à l'instant t + s. C'est-à-dire :
pij(t) = P[X(t + s) = j | X(s) = i] = P[X(t) = j | X(0) = i].
Les fonctions pij(t) sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et on a la propriété :
Pour tout i, \sum_{j=0}^\infty p_{ij}(t)=1 (c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)
Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.
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