Générateur infinitésimal
- Générateur infinitésimal
-
Un générateur infinitésimal est un outil de stochastique, utilisé notamment pour les processus de Markov à temps continu.
Dans les chaînes de Markov à temps continu
-
- Soit le processus stochastique
à temps continu et à états discrets.
- Soit τi la variable aléatoire désignant le temps que passe le processus à l'état i avant de passer dans un autre état. Les chaînes de Markov à temps continu sont des processus stochastiques qui doivent (entre autres) vérifier la propriété de non-vieillissement :
- P[τi > s + t | τi > t] = P[τi > s],
- ce qui signifie que le temps qu'il reste à passer dans un état ne dépend pas du temps déjà passé dans cet état.
- De cette propriété on peut déduire que dans une chaîne de Markov à temps continu les variables aléatoires τi suivent des lois exponentielles (car celles-ci sont les seules lois de probabilités continues vérifiant la propriété de non-vieillissement).
- On notera pij(t) la probabilité que partant de l'état i à un instant s, on soit dans j à l'instant t + s. C'est-à-dire :
- pij(t) = P[X(t + s) = j | X(s) = i] = P[X(t) = j | X(0) = i].
- Les fonctions pij(t) sont appelées « fonctions de transition de la chaîne », et on a la propriété :
- Pour tout i,
(c'est-à-dire que l'on doit forcément être dans un des états au temps t.)
- Par ailleurs ces fonctions vérifient les équations de Chapman-Kolmogorov continues.
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