Fourmi de Langton

On nomme fourmi de Langton un automate cellulaire (voir machine de Turing) bidimensionnel comportant un jeu de règles très simples. On lui a donné le nom de Chris Langton, son inventeur.

Elle constitue l'un des systèmes les plus simples permettant de mettre en évidence un exemple de comportement émergent.

Règles

Les cases d'une grille peuvent être blanches ou noires. On considère arbitrairement l'une de ces cases comme étant l'emplacement initial de la fourmi. Dans l'état initial, toutes les cases sont de la même couleur.

La fourmi peut se déplacer à gauche, à droite, en haut ou en bas d'une case à chaque fois selon les règles suivantes :

• Si la fourmi est sur une case noire, elle tourne de 90° vers la droite, change la couleur de la case en blanc et avance d'une case.
• Si la fourmi est sur une case blanche, elle tourne de 90° vers la gauche, change la couleur de la case en noir et avance d'une case.

Il est également possible de définir la fourmi de Langton comme un automate cellulaire où la plupart de la grille est blanche ou noire et où la case de la fourmi peut prendre huit états différents, codant à la fois sa couleur et la direction de la fourmi.

Propriétés

Comportement de trois fourmis de Langton avec trois couleurs différentes.

Ces règles simples conduisent à un comportement étonnant de la fourmi : après une période initiale apparemment chaotique, la fourmi finit invariablement par construire une route formée par 104 étapes qui se répètent indéfiniment, quel que soit le motif initial. Ce résultat n'est pas démontré, il s'agit d'une conjecture issue des expériences ; aussi, la conjecture est trivialement fausse si on considère un motif initial infini. Il semble que cette route soit un attracteur de la fourmi de Langton.

Extensions

Une extension simple consiste à utiliser plus de deux couleurs, modifiées de façon cyclique par la fourmi. Une dénomination simple de chaque fourmi consiste à assigner la lettre « G » ou « D » à chaque couleur afin d'indiquer si la fourmi doit tourner à gauche ou à droite lorsqu'elle la rencontre. Ainsi, la fourmi de Langton serait nommée « DG ».

Certaines de ces extensions produisent des motifs symétriques, comme par exemple « DGGD ».

Voir aussi

Liens internes

• Automate cellulaire
• Turmite
• Vers de Paterson

Liens externes

• (en) Further Travels with my Ant par D. Gale, J. Propp, S. Sutherland et S. Troubetzkoy : article en format PostScript ou TeX détaillant une condition suffisante pour obtenir les motifs symétriques exprimés plus haut
• (en) Langton's Ant Software, logiciel émulant la fourmi de Langton
• (en) Applet java permettant de simuler des fourmis de différentes couleurs
• (en) ASM32 app

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