Fonction partielle

Fonction partielle

En mathématiques une fonction partielle sur un ensemble donné E est une fonction définie sur une partie de celui-ci, qui est alors appelé domaine de définition de la fonction partielle.

Cette notion apparait en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de N, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de Np, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou uples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

Définitions

Une fonction partielle d'un ensemble E dans un ensemble F est un couple (Df, f) constitué d'un sous-ensemble Df de E et d'une application de Df dans F. On dit que f est définie en x ∈ E quand x ∈ Df, et Df est appelé ensemble de définition de f[1].

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction partielle f de E dans F est dite totale quand f est partout définie sur E, c'est-à-dire que E = Df[2].

Notes et références

  1. ↑ Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic, Neal Koblitz (trans.), Springer-Verlag, New York, NY, 1977, p 178.
  2. ↑ P. Odifreddi, 1989. Classical Recursion Theory, North-Holland. (ISBN 0-44487-295-7), p 129, dans le cas des fonctions partielles récursives.

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