Flocon de neige de Von Koch

Flocon de neige de Von Koch

Flocon de von Koch

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Koch.

Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »).

Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé « Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes » et écrit par le mathématicien suédois Helge von Koch (1870 - 1924)[1].

Sommaire

Courbe de Koch

les 4 premières étapes de la construction
les 6 premières courbes successives en animation

On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :

  1. on divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales,
  2. on construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape,
  3. on supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une coupe transversale d'un chapeau de sorcière.

La courbe de Koch est la limite des courbes obtenues, lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-dessus.

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale[2] (non entière) dont la valeur est

d = \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,26.

La courbe de Koch a une longueur infinie parce qu'à chaque fois qu'on applique les modifications ci-dessus sur chaque segment de droite, la longueur totale augmente d'un tiers.

La surface délimitée par la courbe est cependant finie (car elle est contenue dans le demi-cercle dont le diamètre est le segment initial). Si on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute 4^ {n-1} \times \left(\frac{1}{9}\right)^{n-1}. La surface totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique :

\sum_{n=0}^\infty \left({4\over9}\right)^n = {1\over 1-4/9} = {9\over5}

Flocon de Koch

Création du flocon de Koch

Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.

Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie égale au 8/5 de l'aire du triangle initial.

Variantes de la courbe de von Koch

Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesaro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).

Variante Illustration Construction
1D & angle=85°
Fractale Cesaro.
La fractale Cesaro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°).
1D & 90°
Courbe quadratique de Koch (type 1)
Les 2 premières itérations.
1D & 90°
Courbe quadratique de Koch (type 2)
Les deux premières itérations. Sa dimension fractale égale 1,5, soit à mi-chemin entre la dimension 1 et la dimension 2. Cette propriété en fait une courbe très utilisée dans l'étude des propriétés physiques des objets fractals (Cf Sapoval).
2D & triangles
Surface de von Koch
Les 2 premières itérations. Extension naturelle à 2 dimensions de la courbe de von Koch .
2D & 90°
Surface quadratique de Koch (type 1)
Etape 1Etape 2Etape 3 Les trois premières étapes.
2D & 90°
Surface quadratique de Koch (type 2)
Quadratic Koch 3D (type2 stage1).pngQuadratic Koch 3D (type2 stage2).pngQuadratic Koch 3D (type2 stage3).png Les trois premières étapes.
2D & spheres Eric Haines a développé la fractale sphereflake, extension du flocon de Koch, construite à base de sphères.

Notes et références

  1. (en) Biographie de von Koch
  2. Une démonstration figure dans Les fractales. Tangente HS n° 18 page 26

Voir aussi

Liens externes

Commons-logo.svg

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Flocon de von Koch ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Flocon de neige de Von Koch de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Flocon de von Koch — Pour les articles homonymes, voir Koch. Le flocon de Koch est l une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l invention du terme « fractal(e) »). Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé « Une méthode… …   Wikipédia en Français

  • Flocon De Koch — Flocon de von Koch Pour les articles homonymes, voir Koch. Le flocon de Koch est l une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l invention du terme « fractal(e) »). Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé… …   Wikipédia en Français

  • Flocon de koch — Flocon de von Koch Pour les articles homonymes, voir Koch. Le flocon de Koch est l une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l invention du terme « fractal(e) »). Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé… …   Wikipédia en Français

  • Flocon de Koch — Pour les articles homonymes, voir Koch. Le flocon de Koch est l une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l invention du terme « fractal(e) »). Elle a été inventée en 1906[1] par le mathématicien suédois Helge… …   Wikipédia en Français

  • Flocon — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Flocon », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Le flocon de neige est un agglomérat de… …   Wikipédia en Français

  • Courbe de Koch — Flocon de von Koch Pour les articles homonymes, voir Koch. Le flocon de Koch est l une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l invention du terme « fractal(e) »). Elle apparaît en 1906 dans un article intitulé… …   Wikipédia en Français

  • Fractale — On nomme figure fractale ou fractale par substantivation de l adjectif (ou encore en anglais fractal), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une… …   Wikipédia en Français

  • Courbe de Jordan — Théorème de Jordan La courbe de Jordan (en noir) divise le plan en deux régions : un « intérieur » (en bleu) et un « extérieur » (en rose). Ce résultat porte le nom de théorème de Jordan. En mathématiques, le théorème de… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Jordan — Théorème de Jordan La courbe de Jordan (en noir) divise le plan en deux régions : un « intérieur » (en bleu) et un « extérieur » (en rose). Ce résultat porte le nom de théorème de Jordan. En mathématiques, le théorème de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Jordan — En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème de topologie plane. Il est célèbre par le caractère apparemment intuitif de son énoncé et la difficulté de sa démonstration. « En fait, il n y a pratiquement aucun autre théorème qui… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”