Fibré Principal

Fibré principal

En topologie, de manière informelle, un fibré principal sur un espace topologique X est un espace ressemblant localement à un produit de X par un espace homogène, un espace topologique sur lequel agit librement un groupe topologique. En particulier, un fibré principal est une fibration, mais c'est bien plus encore. Il vient avec un groupe, le groupe structural décrivant la manière dont les trivialisations locales se recollent entre elles. La définition est moins anecdotique qu'il n'y parait. La théorie des fibrés principaux recouvre la théorie des revêtements vectoriels, de leurs orientations, de leurs structures riemanniennes, de leurs structures symplectiques, ... Les fibrés principaux sont particulièrement importants dans l'étude des classes caractéristiques en topologie algébrique.

Définition formelle

Soit G un groupe topologique qui agit continuement et librement à droite sur un espace topologique F. Une telle action est un antiplongement du groupe G dans le groupe des homéomorphismes de F.

Un fibré principal sur X de fibre F et de groupe structural G est la donnée d'une application continue surjective $\pi:M\rightarrow X$ , appelée la projection, telle que :

Pour tout point x de X, il existe un voisinage ouvert U_x de x dans X, et un homéomorphisme $(\pi,\Phi_x):\pi^{-1}(U_x)\rightarrow U_x\times F$ , appelé trivialisation locale au dessus de U.

Pour deux points x et y, il existe une application continue $f_{xy}:U_x\cap U_y\rightarrow G$ , appelée fonction de transition, telle que, pour tout m dans $\pi^{-1}(U_x\cap U_y)$ , on ait :

$\Phi_y(m)= \Phi_x(m)\cdot f_{xy}(\pi(m))$

Selon le contexte, la définition peut se vouloir plus restrictive vis-à-vis des structures. En particulier, en géométrie différentielle, on demande à ce que les espaces X et M soient des variétés, le groupe G un groupe de Lie et l'application et l'action différentiables. Mais essentiellement, la définition est la même.

Un fibré principal de groupe structural G et de fibre F est obtenu de la manière suivante. Considérons une famille (U_i) d'ouverts de X, et des applications $f_{ij}:U_i\cap U_j\rightarrow G$ vérifiant :

Pour tout i, l'application f_ii est l'identité.
Pour tous i, j, f_ij^-1=f_ji.
Pour tous i, j et k, f_ijf_jk=f_ik. (Condition de cocyle)

Un fibré G-principal est un fibré principal sur X, de groupe structural G, et de fibre G, où l'action de G sur G est l'application de multiplication à droite. De manière équivalente, un fibré G principal est un espace topologique M sur lequel agit continument et librement à droite le groupe topologique G, de quotient M/G=X. Cette caractérisation est valable en géométrie différentielle sous l'hypothèse que le quotient soit une variété.

Le fibré des repères

La définition est moins anecdotique qu'il n'y parait. En particulier, la classification des fibrés principaux de groupe structural $G L n R$ sur X équivaut à la classification des fibrés vectoriels de rang n sur X.

Applications :

En topologie algébrique, le fibré des repères joue un rôle central, en particulier, pour ce qui en est des classes caractéristiques.
En géométrie différentielle, s'il est courant de manipuler les connexions de Koszul, disposer d'une formulation géométrique est agréable. Les connexions d'Ehreshmann s'effectuent dans le fibré des repères.

Pour approfondir

Voir aussi

Liens internes

Références

(en) Jürgen Jost, Compact Riemannian Surfaces [détail des éditions]
(en) Glen E. Bredon, Topology and Geometry [détail des éditions]

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Catégories : Topologie différentielle | Géométrie différentielle

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