- Factorion
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Un factorion est un entier naturel qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres. Par exemple, 145 est un factorion en écriture décimale car 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.
En écriture décimale, il n'y a que quatre factorions, ce sont 1, 2, 145 et 40585, soit suite A014080 de l’OEIS.
On peut démontrer qu'en base b, un factorion de n chiffres ne peut pas dépasser
. Un factorion est donc toujours compris entre bn-1 et n(b-1)!.En base 10 par exemple, comme 107 est plus grand que 8× 9!, et que cette inégalité est vraie aussi pour tout n supérieur ou égal à 8, un factorion est toujours inférieur à 107.
Sommaire
Liste des factorions
Ce tableau donne la liste des factorions pour différentes bases arithmétiques.
Base Nombre maximum de chiffres Factorions 2 2 1, 10 3 2 1, 2 4 3 1, 2, 13 5 3 1, 2, 144 6 4 1, 2, 41, 42 7 5 1, 2 8 5 1, 2 9 6 1, 2, 62 558 10 7 1, 2, 145, 40 585 11 8 1, 2, 24, 44, 28 453 12 8 1, 2 13 9 1, 2, 83790C5B 14 10 1, 2, 8B0DD409C 15 11 1, 2, 661, 662 16 11 1, 2, 260F3B66BF9 Généralisation
Dans son livre Keys to Infinity, Clifford A. Pickover (Pickover, 1995) introduit les généralisations suivantes :
- Les factorions du second type, qui sont les nombres égaux au produit des factorielles de leur chiffres.
- Les factorions du troisième type, qui peuvent être compris à partir d'un exemple. Si on considère le factorion du troisième type abcdef, alors abcdef = (ab)! + c! + d! + (ef)!
Ces deux généralisations produisent un nombre beaucoup plus important de solutions et on ignore encore si leur nombre de solutions est fini.
En base 10, les deux factorions du deuxième type inférieurs à 10100 sont 1 et 2, car 1!=1 et 2!=2.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Factorion » (voir la liste des auteurs)
- Factorion sur MathWorld
- Factorions, par Walter Schneider (2000)
Bibliographie
- George D.Poole, Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits, Mathematics Magazine, Vol.44, November 1971, pages 278-279
- Martin Gadner, Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American, New York: Vintage, 1978, Chapter 4: Factorial Oddities.
- Joseph S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, New York: Dover, 1979, p. 167.
- Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, John Wiley & Sons, 1995, Chapter 22: The Loneliness of the Factorions.
- Eric W. Weisstein, Factorion, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC 1999.
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