Espaces de hardy

Espaces de hardy

Espaces de Hardy

Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité \mathbb{D}, il n'est pas toujours vrai que f se prolonge sur \partial \mathbb{D}. On aimerait savoir quand un tel prolongement existe.

Noyau de Poisson

Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle de \frac{1+z}{1-z}

Le noyau de Poisson Pr est un noyau sommable, c’est-à-dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

  1. \int_{\mathbb{T}} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} = 1
  2. \int_{\mathbb{T}} |P_r(e^{i\theta})|\frac{d\theta}{2\pi} < \infty
  3. \forall \pi>\delta >0 \int_{\delta<|z|<\pi} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} \to 0 lorsque r\to 1

De plus, Pr(eiθ) = P(z) est une fonction harmonique. On peut montrer que tout noyau sommable K_n, vérifie la règle suivante:

\forall \epsilon >0, \exists N, n>N \Rightarrow ||K_n*f-f||_p < \epsilon Dès que f \in L^p et 1\leq p < \infty .

Ainsi, si f\in L^p(\mathbb{T}), on a Δ(Pr * f) = (ΔPr) * f = 0 et h = p * f est une fonction harmonique dans le disque unité \mathbb{D}. La question à se poser est alors de savoir si la réciproque de ce résultat est vraie. Notamment, étant donné une fonction harmonique h, est-il toujours possible de trouver une fonction f telle que h = p * f ?

Théorème de représentation

Notons h^p(\mathbb{D})=\{h\in har(\mathbb{D}), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant:

f\in h^p(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists f^* \in L^p(\mathbb{T}), P*f^*=f pour \infty\geq p>1

f\in h^1(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists \mu \in M(\mathbb{T})=C^0(\mathbb{T})^*, P*\mu=f .


Le problème qui survient est que la "valeur au bord" d'une fonction f \in h^1, c’est-à-dire la limite dans L^p(\mathbb{T}) de Pr * f, n'est pas nécessairement une fonction, mais peut être une "vraie" mesure.

Par exemple, si f est le noyau de Poisson lui même, on a P * δ = P.

Ce problème ne survient pas lorsque les fonctions que l'on considère sont "un peu plus jolies" et notamment lorsqu'elles sont holomorphes.

Théorème de représentation pour les espaces de Hardy

Notons H^p(\mathbb{D})=\{h\in H(\mathbb{D}), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant:

f\in H^p(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists f^* \in H^p(\mathbb{T}), P*f^*=f pour \infty\geq p \geq 1

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