Espaces de hardy

Espaces de hardy

Espaces de Hardy

Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité \mathbb{D}, il n'est pas toujours vrai que f se prolonge sur \partial \mathbb{D}. On aimerait savoir quand un tel prolongement existe.

Noyau de Poisson

Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle de \frac{1+z}{1-z}

Le noyau de Poisson Pr est un noyau sommable, c’est-à-dire qu'il vérifie les conditions suivantes:

  1. \int_{\mathbb{T}} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} = 1
  2. \int_{\mathbb{T}} |P_r(e^{i\theta})|\frac{d\theta}{2\pi} < \infty
  3. \forall \pi>\delta >0 \int_{\delta<|z|<\pi} P_r(e^{i\theta})\frac{d\theta}{2\pi} \to 0 lorsque r\to 1

De plus, Pr(eiθ) = P(z) est une fonction harmonique. On peut montrer que tout noyau sommable K_n, vérifie la règle suivante:

\forall \epsilon >0, \exists N, n>N \Rightarrow ||K_n*f-f||_p < \epsilon Dès que f \in L^p et 1\leq p < \infty .

Ainsi, si f\in L^p(\mathbb{T}), on a Δ(Pr * f) = (ΔPr) * f = 0 et h = p * f est une fonction harmonique dans le disque unité \mathbb{D}. La question à se poser est alors de savoir si la réciproque de ce résultat est vraie. Notamment, étant donné une fonction harmonique h, est-il toujours possible de trouver une fonction f telle que h = p * f ?

Théorème de représentation

Notons h^p(\mathbb{D})=\{h\in har(\mathbb{D}), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant:

f\in h^p(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists f^* \in L^p(\mathbb{T}), P*f^*=f pour \infty\geq p>1

f\in h^1(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists \mu \in M(\mathbb{T})=C^0(\mathbb{T})^*, P*\mu=f .


Le problème qui survient est que la "valeur au bord" d'une fonction f \in h^1, c’est-à-dire la limite dans L^p(\mathbb{T}) de Pr * f, n'est pas nécessairement une fonction, mais peut être une "vraie" mesure.

Par exemple, si f est le noyau de Poisson lui même, on a P * δ = P.

Ce problème ne survient pas lorsque les fonctions que l'on considère sont "un peu plus jolies" et notamment lorsqu'elles sont holomorphes.

Théorème de représentation pour les espaces de Hardy

Notons H^p(\mathbb{D})=\{h\in H(\mathbb{D}), \sup_r ||h(re^{i\theta})||_p <\infty \} . On a le théorème de représentation suivant:

f\in H^p(\mathbb{D}) \Leftrightarrow \exists f^* \in H^p(\mathbb{T}), P*f^*=f pour \infty\geq p \geq 1

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Espaces de Hardy ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espaces de hardy de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Espaces De Hardy — Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité , il n est pas toujours vrai que f se prolonge sur . On aimerait savoir quand un tel prolongement existe. Noyau de Poisson Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle… …   Wikipédia en Français

  • Espaces de Hardy — Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité , il n est pas toujours vrai que f se prolonge sur . On aimerait savoir quand un tel prolongement existe. Noyau de Poisson Le noyau de Poisson peut être vu comme la partie réelle… …   Wikipédia en Français

  • Espace de Hardy — En analyse complexe, les espaces de Hardy sont des espaces particuliers de fonctions holomorphes sur le disque unité. Lorsque f est une fonction harmonique définie sur le disque unité , il n est pas toujours vrai que f se prolonge sur . On… …   Wikipédia en Français

  • Godfrey Harold Hardy — Pour les articles homonymes, voir Hardy. Godfrey Harold Hardy Godfrey Harold Hardy Naissance 7 …   Wikipédia en Français

  • G. H. Hardy — Godfrey Harold Hardy Pour les articles homonymes, voir Hardy. Godfrey Harold Hardy. Godfrey Harold Hardy (7 f …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Espace Fonctionnel — En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d applications d une certaine forme d un ensemble X vers un ensembleY. Il est appelé espace parce que suivant les cas il peut être un espace topologique ou un espace vectoriel ou les deux.… …   Wikipédia en Français

  • Espace fonctionnel — En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d applications d une certaine forme d un ensemble X vers un ensemble Y. Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les …   Wikipédia en Français

  • Noyau de Poisson — En théorie du potentiel, le noyau de Poisson est un opérateur intégral utilisé pour résoudre le problème de Dirichlet en dimension 2. Plus précisément, il donne des solutions à l équation de Laplace en deux dimensions vérifiant les conditions aux …   Wikipédia en Français

  • TCVM — Théorème de convergence monotone En mathématiques, le Théorème de convergence monotone est l un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue avec le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que la… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”