Espace lisse

Espace lisse

Définition

Un espace vectoriel normé (X, \Vert .\Vert) est dit lisse si pour tout u\in X\setminus\{0\} et tout v\in X la fonction

\varepsilon\to \Vert u+\varepsilon v\Vert

est dérivable en 0.

Exemples

Preuve

Soit (H,\Vert.\Vert) un espace préhilbertien avec \Vert . \Vert=\sqrt{(.|.)} .

Pour tout u\in H\setminus\{0\}, tout v\in H et tout \varepsilon > 0 on a

\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert-\Vert u\Vert}{\varepsilon}=\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert ^2-\Vert u\Vert ^2}{\varepsilon(\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert)}=\frac{\varepsilon^2\Vert v\Vert ^2+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon(\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert)}=\frac{\varepsilon\Vert v\Vert ^2+2 (u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert+\Vert u\Vert}

où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.

On a alors

\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{\Vert u+\varepsilon v\Vert-\Vert u\Vert}{\varepsilon}=\frac{(u|v)}{\Vert u\Vert}\in\mathbb{R}
 




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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace lisse de Wikipédia en français (auteurs)

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