Espace D'ordres

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Espace d'ordres

Définitions

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant 2, c’est-à-dire \forall g\in G, on a g2 = 1

On distingue deux éléments remarquables 1 et − 1 de G, dits éléments distingués. On munit G de la topologie discrète, où tout sous-ensemble est un ouvert-fermé.

On note \widehat{G}=Hom(G,\mathbb{C}) le groupe (Les morphismes sont les morphismes de groupes où \mathbb{C} est consideré ici comme un groupe multiplicatif lui aussi, vu comme \mathbb{C}^*) topologique dual de G.

Il est très clair, par la nilpotence des éléments de G que Hom(G,\mathbb{C}) = Hom(G,\mathbb{Z}_{2}) avec \mathbb{Z}_{2} = \{1,-1\} vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide X\subset \widehat{G}.

Le couple (X,G) est dit un pre-espace d'ordre si les deux axiomes suivants sont sont vérifiés:

\mathcal{O}_{1} X est un fermé de \widehat{G}

\mathcal{O}_{2} \sigma(-1) = -1, ~\forall ~\sigma\in X

\mathcal{O}_{3} \sigma(g) = 1, ~\forall ~\sigma\in X \Rightarrow g=1

L'axiome \mathcal{O}_{3} est dit axiome de sépation, i.e. X sépare les éléments de G. Il équivalent au suivant:

\mathcal{O}_{3}~' g\neq h \Rightarrow \exists \sigma \in X : \sigma (g)\neq \sigma(h)

Dans tout ce qui suivra, on garde à l'esprit que les éléments de X sont des homomorphismes de groupes G \longrightarrow \mathbb{Z}_{2} .

On peut commuter ce rôle avec ceux de G également, i.e. voir G comme étant un sous-groupe du groupe \widehat{X} des applications continues X \longrightarrow \mathbb{Z}_{2}.

Si g\in G et \sigma \in X, alors on ne distingue pas les deux écritures g(σ) et σ(g) .

Exemples

Dans le cas où G est le groupe multiplicatif \mathbb{Z}_{2} = (\pm1,\times).

L'unique pre-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial E constitué d'un seul élément.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace D'ordres de Wikipédia en français (auteurs)

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