- Espaces d'ordres
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Espace d'ordres
Définitions
On se donne un groupe multiplicatif d'exposant 2, c’est-à-dire
, on a g2 = 1On distingue deux éléments remarquables 1 et − 1 de G, dits éléments distingués. On munit G de la topologie discrète, où tout sous-ensemble est un ouvert-fermé.
On note
le groupe (Les morphismes sont les morphismes de groupes où 
est consideré ici comme un groupe multiplicatif lui aussi, vu comme 
) topologique dual de G.Il est très clair, par la nilpotence des éléments de G que
avec 
vu comme groupe multiplicatif.On se donne maintenant un sous-ensemble non vide
.Le couple (X,G) est dit un pre-espace d'ordre si les deux axiomes suivants sont sont vérifiés:
X est un fermé de 
L'axiome
est dit axiome de sépation, i.e. X sépare les éléments de G. Il équivalent au suivant:
Dans tout ce qui suivra, on garde à l'esprit que les éléments de X sont des homomorphismes de groupes
.On peut commuter ce rôle avec ceux de G également, i.e. voir G comme étant un sous-groupe du groupe
des applications continues 
.Si
et 
, alors on ne distingue pas les deux écritures g(σ) et σ(g) .Exemples
Dans le cas où G est le groupe multiplicatif
.L'unique pre-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial E constitué d'un seul élément.
Catégorie : Structure algébrique topologique
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