Déterminant De Slater

Déterminant De Slater

Déterminant de Slater

Le déterminant de Slater d'ordre N est un déterminant formé sur N spinorbitales \phi_{k_i} (\xi) distinctes.

D_K = {1\over\sqrt {N!}}\begin{vmatrix} \phi_{k_1} (\xi_1) & \phi_{k_2} (\xi_1) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_1) \\ \phi_{k_1} (\xi_2) & \phi_{k_2} (\xi_2) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_2) \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \phi_{k_1} (\xi_N) & \phi_{k_2} (\xi_N) &\ldots &\phi_{k_N} (\xi_N) \\ \end{vmatrix}

le facteur 1\over\sqrt N! est un facteur de normalisation valable si les spinorbitales sont elles-mêmes normées.

Propriétés

  • Antisymétrie par rapport à la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules :

À la permutation des coordonnées d'espace et de spin de deux particules correspond la permutation des deux lignes correspondantes du déterminant. Les déterminants de Slater satisfont le principe d'antisymétrie, en effet un déterminant change de signe lorsque l'on permute deux lignes ou deux colonnes. Cette propriété est également valable pour une combinaison linéaire de déterminants.

Les déterminants de Slater formés sur des spinorbitales liées par une transformation unitaire sont égaux. Les spinorbitales sont définies à une transformation unitaire près.

  • Action des opérateurs de spin total Sz et S2:

Un déterminant de Slater est toujours fonction propre de Sz

S_z D_K = \frac{(N_\alpha - N_\beta)\hbar}{2}D_K

où Nα etNβ désigne les nombres de spinorbitales α et β

Un déterminant de Slater n'est fonction propre de S2 que s'il correspond à la composante de haut spin (MS = S) ou de bas spin (MS = − S) du multiplet.

Voir aussi

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