Distance de Hellinger

Distance de Hellinger: En Théorie des probabilités, pour toutes mesures de probabilités $P$ et $Q$ absolument continues par rapport à une troisième mesure $λ$ , le carré de la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ est donné par :

$H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\displaystyle \int \left(\sqrt{\frac{dP}{d\lambda}} - \sqrt{\frac{dQ}{d\lambda}}\right)^2 d\lambda.$

où $\frac{dP}{d\lambda}$ et $\frac{dQ}{d\lambda}$ désignent respectivement les dérivées de Radon-Nykodym de $P$ et $Q$ . Cette définition ne dépend pas de $λ$ , si bien que la distance de Hellinger entre $P$ et $Q$ ne change pas si $λ$ est remplacée par une autre mesure de probabilité par rapport à laquelle $P$ et $Q$ soient absolument continues.

Pour alléger l'écriture, la formule précédente est couramment écrite :

$H^2(P,Q) = \frac{1}{2}\int \left(\sqrt{dP} - \sqrt{dQ}\right)^2.$

La distance de Hellinger $H (P, Q)$ ainsi définie vérifie :

$0\le H(P,Q) \le 1.$

Remarque : Certains auteurs ne font pas figurer le facteur 1/2 précédant l'intégrale dans cette définition.

Exemples

La distance de Hellinger entre deux lois normales $P\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ et $Q\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ est donnée par

$H\left(P, Q\right)=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{ \frac{\sigma_1\sigma_2}{2\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}e^{-\frac{1}{2}\frac{\left(\mu_1-\mu_2\right)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}}}$

La distance de Hellinger entre deux lois exponentielles $P ~\sim \rm{Exp}(\alpha)$ et $Q~\sim \rm{Exp}(\beta)$ est donnée par :

$H\left(P, Q\right) = 2 - \frac{4 \sqrt{\alpha \beta}}{\alpha + \beta}$

Bibliographie

(en) Yang, Grace Lo; Le Cam, Lucien M., Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts, Berlin, Springer, 2000, 2^e éd. (ISBN 978-0-387-95036-5) (LCCN 00030759)

(en) Vaart, A. W. van der, Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics), Cambridge, UK, Cambridge University Press, 2006, 1^re éd., poche (ISBN 978-0-521-78450-4) (LCCN 98015176)

(en) Pollard, David E., A user's guide to measure theoretic probability, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 2002, poche (ISBN 978-0-521-00289-9) (LCCN 2001035270)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hellinger distance » (voir la liste des auteurs)

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