- Dilatation (géométrie)
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Dessin d'origine
résultat de la dilatationCet article est à lire en parallèle avec celui sur les transvections.
Sommaire
Dilatation vectorielle
Une dilatation d'un espace vectoriel
est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul.Les dilatations sont bijectives. L'ensemble des dilatations de base et direction fixées forme un sous-groupe de
, isomorphe au groupe multiplicatif du corps de base.En dimension finie, un automorphisme de
est diagonalisable ss'il est produit commutatif de dilatations, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe linéaire est engendré par les dilatations.Matrice de dilatation
Dans une base de
formée de vecteurs de la base et de la direction de la dilatation, la dilatation a pour matrice une matrice du type 
. Ces matrices sont donc appelées matrices de dilatation.Dilatation affine
Une dilatation d'un espace affine
est une affinité de base un hyperplan, et de rapport non nul ; ce sont les applications affines de partie linéaire une dilatation vectorielle, sauf dans le cas du rapport 1.Étant donné deux points
et 
tels que la droite 
n'est pas parallèle à un hyperplan 
, il existe une unique dilatation de base envoyant sur ; on obtient facilement l'image 
d'un point 
par la construction :
En dimension finie, et si le corps de base a au moins 3 éléments, le groupe affine
est engendré par les dilatations.Dilatation projective
Si l'on plonge l'espace affine
dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini 
, on sait que l'on peut munir le complémentaire 
de l'hyperplan d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de dans deviennent parallèles dans et celles qui sont parallèles dans deviennent sécantes en un point de ).A toute dilatation d'hyperplan
de est alors associée une application affine de qui n'est autre qu'une homothétie !Les dilatations en perspective deviennent donc en fait des homothéties... Si l'on regarde par avion une dilatation de base parallèle à la ligne d'horizon, on voit une homothétie dont le centre est sur la ligne d'horizon : 
Si maintenant on envoie un autre hyperplan que
et à l'infini, la dilatation devient une homologie non spéciale.En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les homothéties, les dilatations, et les homologies non spéciales.
Dilatation orthogonale
Ce sont, dans le cas euclidien, les dilatations dont la base est orthogonale à la direction. Elles contiennent comme cas particulier les réflexions.
Réalisation d'une dilatation par perspective parallèle
Plongeons l'espace euclidien
de dimension n comme hyperplan d'un espace 
de dimension n+1 et faisons tourner autour de son hyperplan , de façon à en obtenir une copie 
.Tout point
de a une copie 
dans , donc aussi l'image de par une dilatation de base .On montre que la droite
garde une direction fixe 
, ce qui montre que 
s'obtient par projection de dans (projection de base et de direction ).Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.
Liens
Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998
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