Cube de Hilbert
- Cube de Hilbert
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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit ![K = \left[0,1\right]^{\mathbb N}](8/66844c8bed8f028ae85a154274810a33.png)
muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.
Il est homéomorphe à ![\left[0,1\right] \times \left[0,\frac12\right] \times \left[0,\frac13\right] \times
\cdots](1/5c1978a7f54c943be56379ebc5c5e39f.png)
, ou à l'espace des suites 
, telles que 
, muni de la distance :
.
Il est donc métrisable.
Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante[1] :
- « Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K. »
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
Note de références
- ↑ François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Volume 1, Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., (1985) p.29
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cube de Hilbert de Wikipédia en français (auteurs)
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