Corrélation linéaire

Régression linéaire

Pour les articles homonymes, voir Régression.

Un exemple graphique

En statistiques, étant donné un échantillon aléatoire $(Y_i, X_i), \, i = 1, \ldots, n$ un modèle de régression simple suppose la relation affine suivante entre $Y i$ et $X i$ :

$Y_i = a X_i + b, \qquad i = 1, \ldots, n$

La régression linéaire consiste à déterminer une estimation des valeurs a et b et à quantifier la validité de cette relation grâce au coefficient de corrélation linéaire. La généralisation à p variables explicatives de ce modèle est donnée par

$Y_i = a_0 + a_1 X_{i1} + a_2 X_{i2} + \ldots + a_p X_{ip}$

et s'appelle la régression linéaire multiple.

Sommaire

1 Situation
2 Définitions
3 Résultat de la régression
4 Erreur commise
5 Coefficient de corrélation linéaire
6 Démonstration des formules par étude d'un minimum
7 Démonstration des formules grâce aux espaces vectoriels de dimension n
8 Généralisation: le cas matriciel
9 Voir aussi
10 Liens externes

Situation

Empiriquement, à partir d'observations $(y_i, x_i), \, i = 1, \ldots, n$ , on a représenté dans un graphe l'ensemble de ces points représentant des mesures d'une grandeur $y i$ en fonction d'une autre $x i$ , par exemple la taille $y i$ des enfants en fonction de leur âge $x i$ .

Les points paraissent alignés. On peut alors proposer un modèle linéaire, c'est-à-dire chercher la droite dont l'équation est $y i = a x i + b$ et qui passe au plus près des points du graphe.

Passer au plus près, selon la méthode des moindres carrés, c'est rendre minimale la somme des carrés des écarts des points à la droite

$\sum_{i = 1}^n (y_i - ax_i - b)^2 \,$

où (y_i - ax_i - b)² représente le carré de la distance verticale du point expérimental $(y i, x i)$ à la droite considérée comme la meilleure.

Cela revient donc à déterminer les valeurs des paramètres a et b (respectivement le coefficient directeur de la droite et son ordonnée à l'origine) qui minimisent la somme ci-dessus.

Définitions

Moyenne empirique des x_i : $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ .
Moyenne empirique des y_i : $\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i$ .
Point moyen: $G(\overline{x},\overline{y})$ .
Variance empirique des x_i : $S_X^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = \overline{x^2}-{\overline{x}}^2$ .
Ecart-type empirique des x_i : $S_X = \sqrt{S_X^2}=\sqrt{V(x)}$ .
Variance empirique des y_i : $S_Y^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\overline{y})^2 = \overline{y^2}-{\overline{y}}^2$ .
Ecart-type empirique des y_i : $S_Y = \sqrt{V(y)}$ .
Covariance empirique des x_i, y_i : $S_{XY} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) = \overline{x \cdot y}-\overline{x} \cdot \overline{y}$ .

La formule de la variance se retient par la mnémonique : La moyenne des carrés moins le carré de la moyenne

de même pour la covariance : La moyenne du produit moins le produit des moyennes.

Résultat de la régression

La droite rendant minimale la somme précédente passe par le point G et a pour coefficient directeur $\frac{S_{XY}}{S_X^2}$ . Son équation est donc :

$y_i = \frac{S_{XY}}{S_X^2}(x_i -\overline{x})+\overline{y}$

soit

$a = \frac{S_{XY}}{S_X^2}$

$b = \overline{y} - \frac{\overline{x} \cdot S_{XY}}{S_X^2} = \overline{y} - a \cdot \overline{x}$

Erreur commise

Si l'on appelle ε_i l'écart vertical entre la droite et le point (x_i, y_i)

$\varepsilon_i = y_i - a x_i - b$

alors l'estimateur de la variance résiduelle σ²_ε est :

$\hat{\sigma}_\varepsilon^2 = \frac{1}{n-2} \cdot \sum_{i = 1}^n \varepsilon_i^2$

la variance de a, σ²_a, est estimée par

$\hat{\sigma}_a^2 = \frac{\hat{\sigma}_\varepsilon^2}{n \cdot V(x)}$ .

On est dans le cadre d'un test de Student sur l'espérance avec écart type inconnu. Pour un niveau de confiance α donné, on estime que l'erreur sur a est :

$\Delta a = \hat{\sigma}_a \cdot t^{n-2}_{(1-\alpha)/2}$

où t^n-2_(1-α)/2 est le quantile d'ordre α/2 de la loi de Student à n-2 degrés de liberté.

L'erreur commise en remplaçant la valeur mesurée y_i par le point de la droite ax_i + b est :

$\Delta y = \hat{\sigma}_\varepsilon \cdot t^{n-2}_{(1-\alpha)/2}$

À titre d'illustration, voici quelques valeurs de quantiles.

Exemples de quantiles de la loi de Student
n	niveau de confiance
n	90 %	95 %	99 %	99,9 %
5	2,02	2,57	4,032	6,869
10	1,812	2,228	3,169	4,587
100	1,660	1,984	2,626	3,390

Lorsque le nombre de points est important (plus de 100), on prend souvent une erreur à 3σ, qui correspond à un niveau de confiance de 99,7 %.

Voir aussi : Erreur (métrologie).

Coefficient de corrélation linéaire

On peut aussi chercher la droite D' : x = a'y + b' qui rende minimale la somme :

$\sum_{i=1}^n (x_i-a'y_i-b')^2$

On trouve alors une droite qui passe aussi par le point moyen G et telle que

$a' = \frac{S_{XY}}{S_Y^2}$ .

On souhaite évidemment tomber sur la même droite. Ce sera le cas si et seulement si

a' = 1/a,

c'est-à-dire si

aa' = 1.

Les droites sont confondues si et seulement si

$\frac{S_{XY}^2}{S_X^2 S_Y^2}=1$

c'est-à-dire si et seulement si

$\frac{S_{XY}}{S_X S_Y} =\pm 1$

On appelle cette quantité $R = \frac{S_{XY}}{S_X S_Y}$ le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. On peut démontrer que ce nombre est toujours compris entre -1 et 1.

En pratique sa valeur absolue est rarement égale à 1, mais on estime généralement que l'ajustement est valide dès que ce coefficient a une valeur absolue supérieure à $\sqrt{3}/2$

Voir également : Corrélation (mathématiques).

Démonstration des formules par étude d'un minimum

Pour tout réel a, on pose $f_a(b) = \sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$ . Il suffit de développer et ordonner ce polynôme du second degré en b. On obtient:

$f_a(b) = nb^2-2\left(\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i)\right)b+ \sum_{i=1}^n (y_i-ax_i)^2$

Ce polynôme atteint son minimum en

$b = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i) = \overline{y} - a\overline{x}$

Ce qui signifie que la droite passe par le point moyen G

Il reste à remplacer dans la somme de départ, b par cette valeur.

Pour tout réel a, $S(a) = \sum_{i=1}^n ((y_i-\overline{y}) - a(x_i-\overline{x}))^2$ . Il suffit de développer et ordonner ce polynôme du second degré en a. On obtient

$S(a) = \left(\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2\right)a^2 - 2\left(\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})\right)a + \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{y})^2$

$S(a)= n\times V(x)\times a^2-2\times n\times cov(x,y)\times a + n\times V(y)$ .

Ce polynôme atteint son minimum en

$a=\frac{cov(x,y)}{V(x)}$

La droite de régression est bien la droite passant par G et de coefficient directeur $a=\frac{cov(x,y)}{V(x)}$ .

Démonstration des formules grâce aux espaces vectoriels de dimension n

Dans l'espace $\mathbb{R}^n$ , muni du produit scalaire canonique, on considère le vecteur X de coordonnées $(x 1, x 2,..., x n)$ , le vecteur Y de coordonnées $(y 1, y 2,..., y n)$ , le vecteur U de coordonnées (1, 1, ..., 1).

On peut remarquer que :

$X.U = n\overline{x}$
$Y.U = n\overline{y}$
$||X-\overline{x}U||^2 = n.V(x)$
$||Y-\overline{y}U||^2 = n.V(y)$
$(Y-\overline{y}U).(X-\overline{x}U)=n.cov(x,y)$

On note alors $\overline{X}$ le vecteur $\overline{x}U$ et $\overline{Y}$ le vecteur $\overline{y}U$

Le vecteur Z de coordonnées $(a x 1 + b, a x 2 + b,..., a x n + b)$ appartient à l'espace vectoriel engendré par X et U.

La somme $\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$ représente le carré de la norme du vecteur $Y - Z$ .

Cette norme est minimale si et seulement si Z est le projeté orthogonal de Y dans l'espace vectoriel vect(X,U).

Z est le projeté de Y dans l'espace vectoriel vect(X,U) si et seulement si $(Z - Y). U = 0$ et $(Z-Y).(X - \overline{X})=0$ .

Or $(Z-Y).U=aX.U+bU^2-Y.U=n(a\overline{x}+b-\overline{y})$ donc (Z-Y).U=0 signifie que $b= \overline{y} - a\overline{x}$ .

En remplaçant dans $(Z-Y).(X - \overline{X})$ , on obtient

$(a(X-\overline{X})-(Y-\overline{Y})).(X - \overline{X}) = naV(x) - ncov(x,y)$ donc $(Z-Y).(X - \overline{X})=0$ signifie que $a = \frac{cov(x,y)}{V(x)}$

Enfin le coefficient de corrélation linéaire s'écrit alors $\frac{(X-\overline{X}).(Y-\overline{Y})}{||X-\overline{X}||\times||Y-\overline{Y}||}$ . Cette quantité représente le cosinus de l'angle formé par les vecteurs $X-\overline{X}$ et $Y-\overline{Y}$ .

On retrouve alors les résultats suivants:

si le coefficient de corrélation linéaire est 1 ou -1, les vecteurs $X-\overline{X}$ et $Y-\overline{Y}$ sont colinéaires de coefficient de colinéarité $a$ et $Y = aX + \overline{Y}-a\overline{X}$ . L'ajustement linéaire est parfait.
si le coefficient de corrélation linéaire est en valeur absolue supérieur à $\sqrt{3}/2$ alors l'angle formé par les deux vecteurs est compris entre $- π / 6$ et $π / 6$ ou entre $5π / 6$ et $7π / 6$ .

Généralisation: le cas matriciel

Article détaillé : Régression linéaire multiple.

Lorsqu'on dispose de plusieurs variables explicatives dans une régression linéaire, il est souhaitable d'avoir recours aux notations matricielles. Si l'on dispose d'un jeu de n données $(y i) i = 1.. n$ que l'on souhaite expliquer par k variables explicatives (y compris la constante) $(1; x_{1,i}; \cdots ; x_{k-1,i})_{i=1..n}$ , on peut poser:

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \,\mbox{et}\, \mathbf{X} = \begin{bmatrix} 1 & x_{1,1} & \cdots & x_{k-1,1} \\ 1 & x_{1,2} & \cdots & x_{k-1,2}\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{1,n} & \cdots & x_{k-1,n} \end{bmatrix}$

La régression linéaire s'exprime sous forme matricielle:

$\mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$

et il est question d'estimer le vecteur de coefficients k × 1 $\boldsymbol{\beta}$ .

Son estimateur par moindre carré est:

$\boldsymbol{\widehat{\beta}} = (\mathbf{X}^{T} \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^{T} \mathbf{y}$

Il faut que la matrice X soit de plein rang ( ${\rm rang}(\mathbf{X})=k$ ) afin que $\mathbf{X}^{T} \mathbf{X}$ soit inversible.

L'estimation de la matrice (symétrique) de variance-covariance de cet estimateur est:

$\boldsymbol{\widehat{\sigma}_{\widehat{\beta}}} = \begin{bmatrix} \hat{\sigma}^2_{\hat{\beta}_1} & \widehat{cov}(\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_2) & \cdots & \widehat{cov}(\hat{\beta}_1,\hat{\beta}_k) \\ \widehat{cov}(\hat{\beta}_2,\hat{\beta}_1) & \widehat{\sigma}^2_{\hat{\beta}_2} & \cdots & \widehat{cov}(\hat{\beta}_2,\hat{\beta}_k) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \widehat{cov}(\hat{\beta}_n,\hat{\beta}_2) & \cdots & \cdots & \widehat{\sigma}^2_{\hat{\beta}_n}\end{bmatrix} = \frac{\mathbf{\widehat{e}}^{T} \mathbf{\widehat{e}}}{(n-k)} (\mathbf{X}^{T} \mathbf{X})^{-1}$

Le terme $\mathbf{\widehat{e}}^{T} \mathbf{\widehat{e}}$ représente la somme des carrés des résidus $\mathbf{\widehat{e}} = y - \widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{X} \boldsymbol{\widehat{\beta}}$ .

La qualité de l'ajustement linéaire se mesure encore par un coefficient de corrélation $R 2$ , défini ici par:

$R^2 = \frac{{\rm SCE}}{{\rm SCT}}$

où SCE (respectivement SCT) représente la somme des carrés expliqués (respectivement la somme des carrés totaux). Ces sommes se donnent par ${\rm SCE} = \widehat{\mathbf{y}}^{T} \widehat{\mathbf{y}} = \sum_i \widehat{y}_i^2$ et ${\rm SCT} = \mathbf{y}^T \mathbf{y}= \sum_i y_i^2$ .

Voir aussi

Statistiques
Statistique (mathématiques élémentaires)
Régression mathématique
Corrélation (mathématiques)
Régression linéaire multiple, la généralisation à p variables explicatives de la régression linéaire $y = f(x_1, x_2, ..., x_p)\,$ .
Modèles de régression multiple postulés et non postulés

Liens externes

http://yves.demur.free.fr/guppy/file/reglin/reglin0108.pdf (utilisation pratique de la régression linéaire, + programmes test en C sur le site http://yves.demur.free.fr/guppy/articles.php?lng=fr&pg=84)
http://www.unilim.fr/pages_perso/jean.debord/math/reglin/reglin.pdf La régression linéaire

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Catégorie : Estimation (statistique)

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