Constante oméga

Constante oméga

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie comme étant une valeur particulière de la fonction W de Lambert.

Il ne faut pas la confondre avec l'Oméga de Chaitin, constante mathématique en théorie algorithmique de l’information.

Sommaire

Définition

Par définition, Ω est la valeur de la fonction W de Lambert en 1 :

\Omega=W_0(1)\,.

Le nom de la constante provient de l'autre appellation de de cette fonction : la fonction oméga.

Du fait de la définition de la fonction W :

\Omega\,e^{\Omega}=1

e est la base des logarithmes naturels.

Propriétés

Valeur approchée

La valeur approchée de Ω est :

Ω = 0,5671432904… (suite 030178 de l’OEIS).

Autres définitions

Ω peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

\Omega = \frac {1}{e^{\Omega}}

ou encore

\Omega = \ln \left( \frac {1}{\Omega} \right).

On peut calculer Ω de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale Ω0 et en calculant les termes de la suite

\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.

Cette suite converge vers Ω.

Certaines intégrales ont un résultat faisant intevenir la constante oméga:

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{1+\Omega}

par comparaison

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{2}

Irrationalité et transcendance

Ω est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si Ω était rationnel, alors il existerait des entiers p et q tels que :

\Omega = \frac{p}{q}

et donc :

1 = \frac{p e^{\frac {p}{q}}}{q},

soit :

e = \sqrt [p]{\frac{q^q}{p^q}}

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, Ω est irrationnel.

Le fait que Ω soit un nombre transcendant est une conséquence directe du théorème de Lindemann-Weierstrass. Si Ω était algébrique, eΩ serait transcendant et \frac {1}{e^{\Omega}} également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

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