Constante oméga

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie comme étant une valeur particulière de la fonction W de Lambert.

Il ne faut pas la confondre avec l'Oméga de Chaitin, constante mathématique en théorie algorithmique de l’information.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Voir aussi
- 3.1 Liens internes
- 3.2 Liens externes

Définition

Par définition, $Ω$ est la valeur de la fonction W de Lambert en 1 :

$\Omega=W_0(1)\,$ .

Le nom de la constante provient de l'autre appellation de de cette fonction : la fonction oméga.

Du fait de la définition de la fonction W :

$\Omega\,e^{\Omega}=1$

où $e$ est la base des logarithmes naturels.

Propriétés

Valeur approchée

La valeur approchée de $Ω$ est :

Ω = 0,5671432904… (suite 030178 de l’OEIS).

Autres définitions

$Ω$ peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

$\Omega = \frac {1}{e^{\Omega}}$

ou encore

$\Omega = \ln \left( \frac {1}{\Omega} \right)$ .

On peut calculer $Ω$ de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale $Ω 0$ et en calculant les termes de la suite

$\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}$ .

Cette suite converge vers $Ω$ .

Certaines intégrales ont un résultat faisant intevenir la constante oméga:

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{1+\Omega}$

par comparaison

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(e^x-x+1)^2+\pi^2} \, dx = \frac{1}{2}$

Irrationalité et transcendance

$Ω$ est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si $Ω$ était rationnel, alors il existerait des entiers $p$ et $q$ tels que :

$\Omega = \frac{p}{q}$

et donc :

$1 = \frac{p e^{\frac {p}{q}}}{q}$ ,

soit :

$e = \sqrt [p]{\frac{q^q}{p^q}}$

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, $Ω$ est irrationnel.

Le fait que $Ω$ soit un nombre transcendant est une conséquence directe du théorème de Lindemann-Weierstrass. Si $Ω$ était algébrique, $e Ω$ serait transcendant et $\frac {1}{e^{\Omega}}$ également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

Voir aussi

Liens internes

Fonction W de Lambert

Liens externes

(en) Omega Constant (Eric W. Weisstein, MathWorld)
(en) The Omega constant (Gérard P. Michon, Numerical Constants)
Valeur des premières décimales de Ω (Plouffe's Inverter)

Portail des mathématiques

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