Conjecture de Scholz

En mathématiques, la conjecture de Scholz, parfois appelée conjecture de Scholz-Brauer ou conjecture de Brauer-Scholz, fut proposée en 1937. Elle prétend que

$l \left( 2^n - 1 \right) \le n - 1 + l \left( n \right)$

où l(n) est la longueur de la plus courte chaîne d'additions (en) qui produit n, c'est-à-dire le plus petit entier m pour lequel il existe une suite $(v_0,\ldots,v_m)$ telle que $v 0 = 1$ , $v m = n$ , et chaque $v i$ est de la forme $v j + v k$ avec $j, k < i$ .

Elle a été démontrée dans de nombreux cas, mais pas dans le cas général.

Par exemple pour n = 5 on a égalité, car l(5)=3 (puisque 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5 et il n'existe pas de chaîne plus courte), l(31)=7 (1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31), et

$l \left( 2^5 - 1 \right) = 5 - 1 + l \left( 5 \right)$ .

Des considérations élémentaires sur la nature des chaînes d'additions et le codage binaire permettent d'établir l'inégalité suivante, plus faible (en) :

$l \left( 2^n - 1 \right) \le 2 (n - 1)$ ,

mais une preuve qui permettrait de remplacer par $l (n)$ l'un des deux « $n - 1$ » du majorant n'a pas encore été trouvée.

Liens externes

(en) Shortest Addition Chains par Achim Flammenkamp, à l'université de Bielefeld
(en) Suite A003313 de l'OEIS

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Scholz conjecture » (voir la liste des auteurs)
(de) Arnold Scholz (de), « Aufgabe 252 », dans Jahresber. Deutsche Math. Vereinigung, vol. 47 « Aufgaben und Lösungen », 1937, p. 41-42 [texte intégral]
(en) Alfred Brauer, « On addition chains », dans Bull. Amer. Math. Soc., vol. 45, 1939, p. 736-739 [texte intégral]

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