Coefficient De Restitution

Coefficient de restitution

Le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton »^[1]. Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Valeurs possibles

$e\in [0,1]$
Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible, et figurerait une collision qui collerait les deux corps entre eux au lieu de les faire rebondir.

Obtenir un coefficient de restitution

On peut notamment obtenir le coefficient de restitution par deux moyen:
$e=\frac{V_r}{V_i}$
Autrement dit le rapport entre la vitesse restituée Vr et la vitesse initiale Vi, mais aussi par:
$e=\sqrt{\frac{h_{n}}{h_{n-1}}}$
La racine du rapport entre la hauteur d'un rebond $h n$ et la hauteur du rebond précédent $h n - 1$

Collision dans une dimension

On a : $\displaystyle{v=-eu}$
avec $v$ = vitesse finale du système, $u$ = vitesse initiale du système, $e$ = coefficient de restitution.

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos^[2], mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia^[3]. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussions de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous^[4].

Solide 1	Solide 2	e
bois	bois	1/2
liège	liège	5/9
ivoire	ivoire	8/9
verre	verre	15/16
acier	acier	19/20

Collision élastique

Si la collision est élastique, $\displaystyle{e=1}$ , et donc $\displaystyle{v=-u}$
L'énergie cinétique est alors conservée.

Exemple: Un corps A de masse $M A$ avançant rectilignement à une vitesse $u$ , percute un corps B de masse $M B$ au repos. La collision est élastique, donc $e = 1$ . Soit $v A$ , et $v B$ les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement:

$\displaystyle{uM_{A}=M_{A}v_{A}+M_{B}v_{B}}$

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives):

$v_{A}-v_{B}=-1\times u$

On obtient alors les relations:

$\displaystyle {v_{A}=u\frac{M_{A}-M_{B}}{M_{A}+M_{B}}}$

$\displaystyle {v_{B}=2u\frac{M_{A}}{M_{A}+M_{B}}}$

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'entièreté de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si $M A = M B$ .

Application: Rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum $\displaystyle{h_{n}}$ après $n$ rebonds : : $\displaystyle{h_{n}=e^{2n}h_{0}}$ Avec $e$ coefficient de restitution de la collision, $h 0$ hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Démonstration

La vitesse atteinte par un corps après une chute d'une hauteur $h n$ est (pour plus d'informations voir Chute libre:
$V_0=\sqrt{2gh_n}$
En considerant que le mouvement est conservé, la vitesse restituée du rebond n sera égale à la vitesse de la fin de la chute du rebond (n+1), donc:
$V_{n+1}=e*V_n=e*\sqrt{2gh_n}$
Et (toujours d'après la formule de la chute libre):
$V_{n+1}=\sqrt{2gh_{n+1}}$
D’où:
$\sqrt{2gh_{n+1}}=e*\sqrt{2gh_n}$
$2gh_{n+1}=e^{2}2gh_n~$
$h_{n+1}=e^{2}h_n~$

$h n$ Est donc une suite géométrique de premier terme $h 0$ et de raison $e 2$ , ayant par conséquent pour terme général:
$h_n=e^{2n}h_0~$

Temps $\displaystyle{t_{n}}$ après le $n$ rebond et avant le $n + 1$ rebond: $\displaystyle{t_{n}=e^{n}\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}}}$ Avec $g$ accélération de la pesanteur.

Démonstration

Pour démontrer cela il suffit de s'intéresser au mouvement plans d'un corps projeté verticalement avec une vitesse initiale $V 0 = V n$ (Là encore, voir Chute libre (physique))
L'accélération est égale à g (accélération de la pesanteur du à la gravité)
$a=g~$
Donc:
$v_z=-gt+v_0~$
Et l'altitude z est finalement égal à:
$z=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+z_0$
Au début d'un rebond l'altitude est nulle, donc $z 0 = 0$ . Nous cherchons t tel que z=0, ce qui revient alors à résoudre:
$-\frac{1}{2}gt^2+v_0*t=0$
$t(-\frac{1}{2}gt+v_0)=0$
Ce qui fais deux solution, t=0, car le corps a une altitude nulle au début du rebond, et:
$t=\frac{2v_0}{g}$

Pour le énieme rebond, la vitesse initiale est égale à la vitesse en fin de chute et peut donc s'écrire: $V_n=\sqrt{2gh_n}$
D’où:
$t_n=\frac{2\sqrt{gh_n}}{g}$
$t_n=\frac{\sqrt{8gh_n}}{g}$
$t_n=\sqrt{\frac{8h_n}{g}}$
Et finalement, grâce à la formule générale de $h n$ trouvée lors de la dernière démonstration:
$t_n=\sqrt{\frac{8e^{2n}h_0}{g}}$
Nous retrouvons alors bien:
$t_n=e^{n}\sqrt{\frac{8h_0}{g}}$

Temps total de rebond : $\displaystyle{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}$
A l'aide d'une suite géométrique, on trouve finalement: $\displaystyle{T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} }$ avec $t 0$ temps avant le premier rebond.

Démonstration

Temps de rebondissement T = $t_{0}+t_{1}+...+t_{n}+...+t_{\infty}$ donc $\displaystyle{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}$
et $\sum^{\infty}_{i=1}e^{i}=S_{n}=\dfrac{t(1-r^{n})}{1-r}$
comme la raison r de cette suite géométrique vaut e, le coefficient de restitution: $r^{n}=e^{n}\rightarrow 0$
Donc $\sum^{\infty}_{i=1}e^{i}=\dfrac{e}{1-e}$ et $T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}}$

Remarque: Le nombre de rebonds est infini mais $T$ est fini.

Notes et références

↑ Cf. L. Lecornu, Dynamique Appliquée, p. 227.
↑ par exemple ceux de De Laharpe (vol. 1, p. 211) et H. Küchling (table 8, p. 584).
↑ Référence:Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Isaac Newton), Lois du Mouvement, scholie du corollaire VI. Newton donne aussi le coefficient de restitution de « deux pelotes de laines très serrées ».
↑ chap. 7, §110 Choc direct de deux sphères, p.230.

Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
Léon Lecornu, Dynamique Appliquée (1908), éd. Octave Doin, Paris
De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (20^e édition, 1920), éd. Albin Michel, Paris
Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (7^e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort

Voir aussi

Choc oblique inélastique entre deux sphères homogènes : voir article "La pratique du billard" sur http://www.regispetit.com/bil_pra.htm qui établit de façon générale les équations vectorielles du choc entre deux corps de vitesse quelconque.

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