Coefficient de restitution

Coefficient de restitution

En dynamique, le coefficient de restitution est un coefficient physique qui intervient lors de l'étude d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton »[1]. Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Sommaire

Établissement du coefficient

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution e s'obtient par rapport entre la vitesse restituée Vr et la vitesse initiale Vi :

e=\frac{V_r}{V_i}

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond hn et la hauteur du rebond précédent hn − 1 donne le même résultat.

e=\sqrt{\frac{h_{n}}{h_{n-1}}}
Démonstration

En effet on peut considérer deux phases, la phases avant le rebond et celle qui le suit. Lors de ces deux phases on néglige toute force de frottement. Ainsi lors de chacune des phases l'énergie mécanique se conserve. D’où :

E_\text{m1} = mgH_i = \tfrac12 mV_i^2
E_\text{m2} = mgH_p = \tfrac12 mV_p^2

On en tire donc :

V_i^2 = 2gH_i
V_p^2= 2gH_p
\left(\frac{V_p}{V_i}\right)^2 = e^2 = \frac{H_p}{H_i}

D’où

e = \sqrt{\frac{H_p}{H_i}}

Où Hp représente la hauteur de rebond et Hi la hauteur de lâché. De même Vi est la vitesse avant rebond et Vp après rebond.

Collision dans une dimension

Si v est la vitesse finale du système, u la vitesse initiale du système et e le coefficient de restitution, on a simplement v = − eu .

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos[2], mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia[3]. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de L. Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous[4].

Solide 1 Solide 2 e
bois bois 1/2
liège liège 5/9
ivoire ivoire 8/9
verre verre 15/16
acier acier 19/20

Collision élastique

Si la collision est élastique, e = 1, et donc v = − u. L'énergie cinétique est conservée.

Exemple  :

Un corps A de masse MA avançant rectilignement à une vitesse u, percute un corps B de masse MB au repos. La collision est élastique, donc e = 1. Soit vA, et vB les vitesses des corps A et B après la collision.

D'après la loi de la conservation de la quantité de mouvement :

uMA = MAvA + MBvB

On applique le coefficient de restitution (et des vitesses relatives) :

v_\text{A}-v_\text{B}=-1\times u

On obtient alors les relations :

{v_\text{A}=u\frac{M_\text{A}-M_\text{B}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}
{v_\text{B}=2u\frac{M_\text{A}}{M_\text{A}+M_\text{B}}}

On voit donc que la particule initialement en déplacement ne s'arrêtera (donc aura communiqué l'intégralité de son énergie cinétique à la particule initialement au repos) que si MA = MB.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

Application : rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum hn après n rebonds : hn = e2nh0 où h0 est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps).

Démonstration

La vitesse atteinte par un corps après une chute d'une hauteur hn dans un champ de pesanteur g est (pour plus d'informations voir Chute libre) :

V_0=\sqrt{2gh_n}

En considérant que le mouvement est conservé, la vitesse restituée du rebond n sera égale à la vitesse de la fin de la chute du rebond (n + 1), donc :

V_{n+1}=eV_n=e\sqrt{2gh_n}

Et (toujours d'après la formule de la chute libre) :

V_{n+1}=\sqrt{2gh_{n+1}}

D’où:

\begin{align}\sqrt{2gh_{n+1}} &=e\sqrt{2gh_n} \\ 2gh_{n+1} &=e^{2}2gh_n \\ h_{n+1} &=e^{2}h_n \end{align}

hn est donc une suite géométrique de premier terme h0 et de raison e2, ayant par conséquent pour terme général :

h_n=e^{2n}h_0~

Temps tn après le n rebond et avant le rebond n + 1 : {t_{n}=e^{n}\sqrt{\frac{8h_{0}}{g}}}

Démonstration

Pour démontrer cela il suffit de s'intéresser au mouvement plan d'un corps projeté verticalement avec une vitesse initiale V0 = Vn (ici, voir Chute libre (physique)). L'accélération est égale à g (accélération de la pesanteur).

a=g~

Donc :

v_z=-gt+v_0~

Et l'altitude z est finalement égale à :

z=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+z_0

Au début d'un rebond l'altitude est nulle, donc z0 = 0. Nous cherchons t tel que z = 0, ce qui revient alors à résoudre :

-\frac{1}{2}gt^2+v_0t=0 \quad\Leftrightarrow\quad t\left(-\frac{1}{2}gt+v_0\right)=0

Ce qui présente deux solutions, t = 0, car le corps a une altitude nulle au début du rebond, et :

t=\frac{2v_0}{g}

Pour le ne rebond, la vitesse initiale est égale à la vitesse en fin de chute et peut donc s'écrire :

V_n=\sqrt{2gh_n}

D’où:

t_n=\frac{2\sqrt{gh_n}}{g}=\frac{\sqrt{8gh_n}}{g}=\sqrt{\frac{8h_n}{g}}

Et finalement, grâce à la formule générale de hn trouvée lors de la dernière démonstration :

t_n=\sqrt{\frac{8e^{2n}h_0}{g}}

Nous retrouvons alors bien :

t_n=e^{n}\sqrt{\frac{8h_0}{g}}

A l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

{T=t_{0}+\sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}}

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

{T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}} }

avec t0 temps avant le premier rebond.

Démonstration
Le temps total de rebondissement est
T = t_{0}+t_{1}+\ldots +t_{n}+\ldots +t_{\infty} = t_{0}+\sqrt{\frac{8h_0}{g}} \sum^{\infty}_{i=1}e^{i}

et

\sum^{\infty}_{i=1}e^{i}=S_{n}=\dfrac{t(1-r^{n})}{1-r}
comme la raison r de cette suite géométrique vaut e, le coefficient de restitution : r^{n}=e^{n}\rightarrow 0

Donc

\sum^{\infty}_{i=1}e^{i}=\dfrac{e}{1-e} et T=t_{0}+\left(\dfrac{e}{1-e}\right) \times \sqrt{\dfrac{8h_{0}}{g}}

Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais T est fini.

Notes et références

  1. ↑ Cf. L. Lecornu, Dynamique Appliquée, p. 227.
  2. ↑ par exemple ceux de De Laharpe (vol. 1, p. 211) et H. Küchling (table 8, p. 584).
  3. ↑ Référence :Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Isaac Newton), Lois du Mouvement, scholie du corollaire VI. Newton donne aussi le coefficient de restitution de « deux pelotes de laines très serrées ».
  4. ↑ chap. 7, §110 Choc direct de deux sphères, p.230.
  • Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
  • Léon Lecornu, Dynamique Appliquée (1908), éd. Octave Doin, Paris
  • De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (20e édition, 1920), éd. Albin Michel, Paris
  • Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (7e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort

Voir aussi

Articles connexes

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