Canon rythmique

En musique, un canon rythmique est analogue à un canon traditionnel (superposition à elle-même d'une phrase musicale donnée). La seule différence est que les hauteurs des notes ne sont pas prises en compte mais seulement leur durée (seul le rythme est répété, pas la mélodie elle-même).

Si la construction d'un canon rythmique est relativement simple, celle-ci devient plus compliquée si l'on impose comme contrainte supplémentaire que les attaques des notes par les différentes voix ne doivent jamais coïncider dans le temps. Ce type de canon rythmique, principalement étudié par Dan Tudor Vuza, donne lieu à un développement mathématique faisant intervenir la théorie des groupes.

Définition, historique

La notion de canon est ancienne en musique. L'étude spécifique de la théorie des canons rythmiques, qui se focalise sur les seuls rythmes en ignorant hauteurs, timbres et autres paramètres du son, a été vraiment initiée par Dan Tudor Vuza dans les années 1980.

Le principe du canon est simple, plusieurs voix jouent un même motif mais décalé dans le temps. Pour un canon rythmique on peut formaliser une voix par la suite des instants où une note est jouée, A = (a₁,a₂...a_n). On a affaire à un canon si toutes les voix sont translatées l'une de l'autre: A' = (a'₁,a'₂...a'_n) = A + b. Si on note B = (b₁,b₂...b_n) l'ensemble des décalages, les différentes voix sont les b_i + (a₁,a₂...a_n).

Bien entendu on peut faire des canons rythmiques sans autre contrainte; le problème devient intéressant quand on exige que les voix ne se recouvrent pas, i.e. que la somme A + B soit directe, i.e. encore qu'il n'y ait pas plus d'une note par instant. C'est encore plus contraignant si on exige exactement une note, ni plus ni moins, par instant. On retrouve alors un problème de pavage (ou mosaïque).

Différents théorèmes techniques établissent qu'un canon qui pave tous les instants possibles avec un motif fini est nécessairement périodique, et qu'un canon possède nécessairement une unité de temps commune. On est donc ramené mathématiquement parlant à la question d'un pavage de l'ensemble Z des entiers relatifs de la forme Z = a + B + nZ ou encore, passant au quotient modulo la période n du canon, .

Vuza s'est intéressé particulièrement aux cas où ni A, ni B ne possèdent de période propre, qu'il appelle RCMC (Rhythmic Canon of Maximal Category) et que les chercheurs suivants ont plutôt appelé "canons Vuza". Il s'avère que les résultats retrouvés par Vuza à ce propos sont équivalents à une difficile classification des groupes cycliques étudiée par plusieurs mathématiciens depuis les années 1950 et achevée par Sands.

Résultats mathématiques

Les vieux théorèmes : Hajos, De Bruijn.

Les bons et mauvais groupes (Sands).

Exemples.

Développements récents

Dénombrements

Fripertinger.

Lien avec la conjecture de Fuglede

Amiot, E., Rhythmic Canons and Galois Theory. Grazer Math. Ber. 347, 1-21, 2005.

Extensions de la notion de canon rythmique

Canon par rétrogradation

Un canon est dit rétrograde lorsque l'on répète le thème à l'envers (en commençant par la fin).

Exemples. Le théorème du trichorde de Wild.

Canons par augmentation et par diminution

Un canon est dit par augmentation (resp. par diminution) si le thème est répété en valeurs rythmiques plus longues (resp. plus courtes) que dans l'original : par exemple des blanches au lieu de noires (resp. par exemples des croches au lieu de noires).

Le problème de Johnson avec 0 1 4.

Le théorème de périodicité peut-il se généraliser ?

Canons modulo p

Leur existence inconditionnelle.

Bibliographie

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