Cadran analemmatique

Un cadran analemmatique situé à Saint-Étienne

Le cadran analemmatique vue du sud

Un cadran analemmatique est un type de cadran solaire dont le style est mobile et orienté dans une direction quelconque (généralement la verticale) et les heures marquées sur un cadran, une ellipse, représenté sur un plan quelconque (généralement horizontal). Il est à noter que le cadran analemmatique englobe tous les autres types de cadrans. Par exemple, si l'axe du style est placé selon l'axe des pôles et le plan choisi est le plan équatorial, on obtient un cadran solaire équatorial, ou si le plan de projection est un plan vertical orienté vers le sud alors c'est le cadran solaire mural que l'on trouve sur de nombreux bâtiments.

L'exemple présenté ici est un exemple classique de cadran analemmatique. Il a un style vertical et est dessiné sur le plan horizontal. Il est situé à Saint-Étienne à 45° 27' et 4°5 E. Son grand axe mesure 2 mètres. Dans cette réalisation c'est une personne debout qui joue le rôle de style vertical. Il a été conçu pour qu'une personne de 1,20 m de haut puisse y lire l'heure en toutes saisons en observant son ombre projetée sur le cadran c'est-à-dire l'ellipse graduée en heures par les plots en granite.

Pour lire l'heure il faut que l'observateur se place sur la ligne médiane Nord-Sud. Cette ligne graduée en date est désignée (ci-après) par ligne des dates. L'observateur se placera sur la date d'observation et lira l'heure qu'indique son ombre sur le cadran.

La position du soleil varie en hauteur pour une même heure au cours de l'année. Ceci est dû au changement de déclinaison du soleil. Comme les déclinaisons sont identiques deux fois par année par exemple aux équinoxes ou le 20 janvier et le 22 novembre). Les deux dates sont notées en vis-à-vis.

Il est évident que le type de construction du cadran de Saint-Etienne avec ses grosses pierres (plots en granite) marquant les heures est davantage fait pour donner le principe de la lecture de l'heure au soleil, que d'en permettre la lecture avec exactitude à 1 minute ou 5 minutes près ! La personne sert d'index (style), il faut donc aussi tenir compte de la taille de l'ombre de sa tête, et de son placement correct sur la ligne des dates.

Voici une image du cadran vu depuis le Sud vers le Nord.

Les plots en granite rose marquent les heures de 5 heures du matin (à gauche de l'observateur, vers l'Ouest) à 19 heures (à sa droite, vers l'Est).

Plans et axes fondamentaux, tracé

Schéma explicatif

Les plans fondamentaux : horizontal et équatorial, et l'axe polaire.

L'horizontal est le plus évident. C'est là que sera matérialisée l'ombre.

Le plan équatorial et plus délicat à appréhender: c'est le plan de l'équateur terrestre. Comme nous ne sommes pas à l'équateur, (pour le cas de la France prise ici en exemple) il est "basculé". De combien ? De 45° car c'est la différence entre 90 ° et notre latitude (exactement 90° - 45°27'). Le pôle céleste et ce que l'on peut observer la nuit comme centre apparent des étoiles en mouvement. Le tout doit être orienté correctement selon l'axe nord sud. La méthode pratique la plus simple pour déterminer le sud est l'observation de l'ombre d'un bâton vers la mi-journée. Quand l'ombre est la plus courte c'est midi solaire et le soleil montre le sud.

L'ellipse au sol, sur laquelle seront placés les plots indiquant les heures, est la projection sur le sol (le plan horizontal) du cercle équatorial figuré en bleu ici.

Détail de la ligne des dates

Détail de la ligne des dates

Pour graduer la ligne des dates, trois dates sont importantes: les équinoxes (le 21 mars et le 23 septembre) et les deux solstices (d'été le 21 juin et d'hiver le 21 décembre). La distance entre le tiret central des équinoxes et les deux tirets extrêmes des deux solstices est la même. Ici dans notre exemple elle est de (30,4 cm ). Une date intermédiaire permet plus de précision pendant l'utilisation, à la date du 21 mai la distance est de 25,7 cm. Ces valeurs sont calculées pour Saint-Etienne 45,5° avec un rayon R de 1 m. Il est possible de faire le dessin en proportion pour une même latitude avec des rayons différents).

Pour le calcul, il faut utiliser les données :

D = déclinaison du soleil,

L= latitude du lieu d'observation et

R = rayon du grand cercle.

La formule de la longueur S entre le tiret d'équinoxe, centre du cadran, et le tiret de la date voulue est S = R x Cos L x Tan D

Construction

Pour un placement des heures sans calcul, voici une méthode graphique :

1. Tracer le grand cercle G (diamètre 2 m sur l'exemple joint, R = 1 m). On prend l'angle de la latitude et on obtient un deuxième cercle P, le petit.
2. Diviser en angles de 15° (360°/24) traits en bleu sur le dessin.

   Tracer des lignes parallèles à l'axe est-ouest passant par le cercle rouge et une division de 15°, puis à l'axe nord-sud et passant par le cercle noir et la même division de 15°.

3. Les intersections liées à un même angle donnent les points des heures...

On pourrait procéder avec des subdivisions de 15°/2 pour avoir les 1/2 heures, mais ce n'est pas réaliste, car pas assez lisible, avec ce type de consruction.

• 

  Tracer le grand cercle G. Attention - petite erreur sur la figure, l'angle noté lat, n'est pas la latitude mais la colatitude, c'est-à-dire:
  90° - lat.

• 

  Diviser en angles de 15°.

• 

  Les intersections liées à un même angle donnent les points des heures.

Principe de fonctionnement

Maintenant que nous savons comment tracer un cadran analemmatique et que nous savons l'utiliser, nous allons voir comment cela marche ou, plus exactement, pourquoi cela marche.

Rappel du principe

Le principe du cadran analemmatique est de projeter selon une direction quelconque un cadran solaire équatorial sur un plan quelconque. La direction de la projection détermine la direction du style. Nous allons revoir tout cela en détail mais nous pouvons déjà noter que le cadran analemmatique comporte une particularité qui le différentie des cadrans usuels (équatoriaux ou muraux) c'est d'avoir un style qui n'est pas obligatoirement orienté selon l'axe des pôles mais généralement selon la verticale. La deuxième caractéristique qui le distingue également est que la position du style dépend de la date. Nous allons voir pourquoi.

Pour simplifier les explications dans la suite, nous prendrons le plan horizontal comme plan de projection et la verticale du lieu comme axe de projection. C'est le cadran analemmatique classique. Le cadran de Saint-Etienne présenté ci-dessus est construit de la sorte. Ces explications sont généralisables pour n'importe quel plan de projection et n'importe quelle direction de projection. Ce qui est fascinant avec ce type de cadran, c'est qu'il englobe tous les autres types de cadran solaire.

Vue d'ensemble

La figure suivante représente la terre vue "de côté" avec l'équateur et l'axe des pôles P-P' qui est son axe de rotation. La terre fait un tour en 24 heures autour de cet axe.

Principe de construction du cadran analemmatique par projection du cadran équatorial sur un plan. Le plan choisi ici est le plan horizontal et l'axe de projection est la verticale du lieu

Le lieu d'observation est indiqué par le point O. Ce pourrait être Saint-Etienne (bien que la latitude du point O sur le schéma semble un peu plus faible que celle de Saint-Etienne). La terre est vue "de côté" avec le lieu d'observation sur le plan de la figure qui est, de fait, le plan méridien.

Le soleil est supposé situé dans le plan de la figure, c'est-à-dire dans le plan méridien du lieu d'observation. Il passe donc au Sud et il est midi solaire pour ce lieu (par définition de midi solaire). La direction du soleil est indiquée par deux flèches, l'une partant du centre de la terre, l'autre partant du point E. Puisque le soleil est situé très loin de la terre, les flèches qui indiquent sa direction sont parallèles.

Tout ceci peut sembler un peu compliqué, mais nous avons déjà ici tous les éléments pour comprendre le fonctionnement du cadran solaire équatorial qui sert de base à la construction du cadran analemmatique:

• Du fait de la rotation de la terre, le soleil fait en apparence un tour en 24 heures autour de l'axe des pôles, soit 15° en une heure.
• Il est midi quand le soleil est dans le plan méridien donc vers le sud (ou le nord selon la latitude de l'observateur. Le soleil est toujours au nord à midi dans l'hémisphère Sud, au sud du tropique du capricorne).

Pour observer la rotation du soleil et déterminer l'heure, il suffit de placer (cadran équatorial):

• un cercle gradué en heure (1 heure / 15°) avec l2H (midi solaire) vers le sud dans un plan parallèle au plan de l'équateur, d'où le nom de cadran solaire équatorial.
• une tige (un style) parallèlement à l'axe des Pôles P-P'.

Un cadran équatorial est représenté sur la figure, voir le point E qui représente le centre du cadran. Ce cadran équatorial est projeté sur le plan horizontal selon la verticale. Cette projection constitue le cadran analemmatique. Le centre du cadran analemmatique est représenté par le point O. Pour expliquer comment/pourquoi le cadran analemmatique fonctionne nous allons détailler cette projection dans la figure suivante (vue détaillée).

Vue détaillée

La figure suivante reprend une partie de la figure précédente en la détaillant. On reconnaitra le point E, centre du cadran équatorial, et le point O, centre du cadran analemmatique. La base de la figure est le plan horizontal du lieu avec les directions NORD-SUD. La projection du cadran équatorial sur le plan horizontal est matérialisée par les traits verticaux: lignes BC, AD par exemple. Ces lignes sont parrallèles à la direction de projection EO (la verticale) et donc parallèles entre elles (petit détail important pour la suite).

Principe de construction du cadran analemmatique et explication du fonctionnement (vue détaillée)

On aura remarqué que les cadrans sont représentés en perspective par des ellipses. Il faut préciser une chose: le cadran équatorial est en fait un cercle (qui sur la figure en perspective semble ici être une ellipse). Les rayons du cercle sont indiqués sur la figure (notés R, à partir du point E). Le cadran analemmatique est la projection d'un cercle sur un plan différent, c'est donc une ellipse (une vraie!). Les axes de l'ellipse sont indiqués sur la figure à partir du point O, centre de l'ellipse. Les longueurs des axes sont indiquées: voir à partir de O: (R) pour le grand axe et (r) pour le petit axe.

Remarque sur la projection utilisée (explications détaillées)

La projection d'un cercle sur un plan quelconque selon une direction quelconque donne toujours une ellipse. Cependant la détermination des axes de l'ellipse peut être un peu complexe. Ici nous avons une projection simple car le plan de projection (le plan horizontal) est perpendiculaire à l'axe de projection (la verticale). Cela simplifie grandement la détermination du grand axe. Le grand axe de l'ellipse est, dans ce cas, la projection du diamètre parrallèle au plan de projection (horizontal) donc perpendiculaire à l'axe de projection (vertical). Pour des explications plus simples, nous appliquerons la formule interdite mais commode: "Se voit sur la figure". Fin des explications détaillées.

Démonstration du fonctionnement

Nous abordons (enfin!) le coeur du sujet. On aura remarqué une seconde différence entre les deux figures ci-dessus. Dans la vue détaillée le soleil n'est plus situé dans le plan méridien. Il n'est plus midi solaire mais une heure quelconque.

Observons attentivement la figure (vue détaillée).

Le soleil est dans la direction AB, cela signifie que l'ombre observée en B sur le cadran équatorial est crée par le point A du style du cadran équatorial.

• Question: Le point A dépend-t-il de l'heure pour une date donnée?
• Réponse: Non! car pour une date donnée le soleil tourne autour du style du cadran équatorial avec un angle constant qui n'est autre que la déclinaison du soleil. En clair l'angle ABE est la déclinaison du soleil pour la date d'observation.
• Conclusion: La position du point A ne dépend que de la date. Il ne dépend pas de l'heure.
• Corollaire: Puisque le point D est la projection du point A, et que le point A ne dépend que de la date, il en sera de même pour le point D.

CONCLUSION 1:
Le point D ne dépend pas de l'heure. Il ne dépend que de la date.

Examinons maintenant le point B.

• Question: Le point B montre l'heure sur le cadran équatorial. Est-il le même (pour une heure donnée) pour toutes les saisons et les dates?
• Réponse: Bien sûr! C'est le principe même du cadran équatorial. Le soleil tourne régulièrement autour du cercle à raison de 15° par heure en passant au Sud à midi solaire (12H). Le point B formé par l'ombre du stylet suit ce mouvement.
• Conclusion: La position du point B ne dépend que de l'heure. Il ne dépend pas de la date.
• Corolaire: Puisque le point C est la projection du point B, et que le point B ne dépend que de l'heure, il en sera de même pour le point C.

CONCLUSION 2:
Le point C ne dépend pas de la date. Il ne dépend que de l'heure.

Grâce à ces deux conclusions nous pouvons:

• tracer une ellipse qui est la projection du cercle équatorial et la graduer en heures (les points C). Ce sera le cadran analemmatique.
• tracer une ligne qui est la projection du stylet du cadran équatorial, et la graduer en dates (les points D). C'est la ligne des dates.

Nous avons identifiée et validée la méthode pour tracer notre cadran analemmatique, il nous reste à vérifier un tout petit détail: Est-ce-que ça marche?

• Question: Comment allons nous utiliser ce cadran?
• Réponse: Nous voulons placer une tige (style) orientée selon l'axe de projection EO donc verticale sur le point D et observer son ombre sur le point C.

Sommes-nous sûrs que l'ombre sera sur le "bon" point C qui correspond justement à l'heure indiquée par le point B? Il se pourrait qu'à une heure H1 donnée l'ombre du style vertical placé en D passe par un point B2 qui indiquerait une heure H2 différente de H1. Nous devons donc vérifier - et ce sera la fin de cette étude - que, lorsque le soleil est dans la direction BA, l'ombre faite par le style du cadran analemmatique (ligne DA) indique le point C. Autrement dit que le soleil est dans le plan (DA, DC) déterminé par la droite DA et la droite DC.

• Question finale: à une heure donnée (indiquée par B), l'ombre du style du cadran analemmatique coupe-t-elle le cadran au point B? Posée géométriquement la question est: lorsque le soleil est dans la direction BA, est-il dans le plan (DA, DC)?
• Réponse: Nous pourrions répondre par "se voit sur la figure"... détaillons.
• Démonstration:
  • Si le soleil est dans la direction BA, il est aussi dans le plan (BA, BC).
  • Puisque BC est parallèle à AD (axe de projection, ici la verticale) alors le plan (BA, BC) est identique au plan (BA, AD).
  • Or le soleil est dans le plan (AD, DC') par construction de C' (ombre du style analemmatique). Nos notons C' car nous ne sommes pas encore certain que ce point soit justement le point C. C'est ce que nous voulons démontrer.
  • Il y deux possibilité: 1/ le soleil est sur l'intersection des deux plans (AD, AB) et (AD, DC) donc sur la droite AD. Ce qui n'est pas vraiment le cas, car cela voudrait dire que le soleil est à l'intersection de BA et AD, soit en A ce qui est un peu proche! Il ferait très chaud à Saint-Etienne), 2/ donc reste uniquement la deuxième possibilité: les deux plans (AB, AD) et (DA, DC) sont confondus et coupe donc l'ellipse du cadran (une ligne continue) au même point (C=C').

CONCLUSION 3:
L'ombre du style du cadran analemmatique (droite DA) coupe l'éllipse du cadran gradué en heure au point C qui est bien la projection sur le plan horizontal du point B du cadran équatorial gradué avec la même heure.

• Portail de l’astronomie