Équation de Gross-Pitaevskii

L' équation de Gross–Pitaevskii est l'équation qui régit l'état et la dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids (condensat de Bose-Einstein) sous l'approximation d'Hartree. Sa forme indépendante du temps s'écrit :

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext}(\mathbf{r}) + Ng\vert\Phi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Phi(\mathbf{r}) = \mu\Phi(\mathbf{r})$ ,

où $Φ$ est la fonction d'onde à une particule, $m$ la masse d'une particule, $\hbar$ la constante de Planck réduite, $μ$ le potentiel chimique, et $g$ une constante dépendante de la longueur de diffusion du potentiel d'interaction.

Dérivation de l'équation de Gross-Pitaevskii

On considère un gaz dilué de $N$ bosons ultra-froids dans un potentiel de confinement $V e x t$ , interagissant entre eux via un potentiel ne dépendant que de la distance entre 2 bosons $V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert)$ . Le Hamiltonien de ce système est donc :

$H=\sum_{i=1}^N \left({\mathbf{p}_i\over 2m}+V_{ext}(\mathbf{r}_i)\right) +{1\over2}\sum_{i\neq j}^N V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert)$ .

Dans l’approximation de Hartree, la fonction d’onde totale $Φ$ du système est considérée comme étant le produit des fonctions d’onde à une particule $Φ$ :

$\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\Phi(\mathbf{r}_1)\Phi(\mathbf{r}_2)\dots\Phi(\mathbf{r}_N)$ .

Une telle forme pour la fonction d'onde totale $Φ$ signifie que les bosons sont tous dans le même état, ce qui est raisonnable à ultra-basse température. De plus, cette fonction d'onde reste inchangée par permutation de 2 particules, ce qui correspond bien à un système bosonique.

Puisque le gaz est dilué, la distance moyenne entre atomes est beaucoup plus grande que la distance caractéristique d’interaction. On considère alors que :

$V_{int}(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert) \approx g\delta(\vert\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j\vert)$ ,

où $δ$ est la fonction de Dirac. La théorie de la diffusion nous donne la valeur de la constante de normalisation $g={4\pi\hbar^2a\over m}$ où $a$ est la longueur de diffusion de la collision élastique en onde s entre deux bosons.

On peut montrer^[1] que si la fonction d’onde à une particule $Φ$ satisfait l'équation de Gross-Pitaevskii, alors la fonction d’onde totale $Ψ$ minimise l’énergie du Hamiltonien $H$ sous la contrainte de normalisation $\int\vert\Psi\vert^2dV=1$ .

Remarques sur l'équation de Gross-Pitaevskii

Il est remarquable que cette équation corresponde à l'équation de Schrödinger du gaz parfait à laquelle on ajoute un terme non-linéaire.

Le choix de la condition de normalisation est essentiel pour l'obtention de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cependant, en changeant cette normalisation, on change l'équation. Elle devient par exemple $\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_{ext}(\mathbf{r}) + g\vert\Phi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Phi(\mathbf{r}) = \mu\Phi(\mathbf{r})$ si on choisit $\int\vert\Psi\vert^2dV=N$ . Malgré les apparences, ceci n'est qu'un artifice mathématique, et ne change rien à la physique sous-jacente.

Références

↑ (en) C. J. Pethick et H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 978-0-521-66580-3)

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