Billard de Sinai

Le billard de Sinai est un système dynamique à deux degrés de liberté très simple à décrire, et qui présente des propriétés chaotiques intéressantes.

La table du billard de Sinai est un carré de côté a au centre duquel a été placé un obstacle circulaire de rayon R < a. La table est plate, sans courbure, et placée horizontalement dans le champ de pesanteur uniforme. Le référentiel du laboratoire étant supposé galiléen, un point matériel se déplaçant sans frottements sur ce billard est un système conservatif qui effectue un mouvement rectiligne uniforme entre deux collisions avec les frontières. Lorsque le point matériel rencontre une frontière (le bord du carré, ou le bord de l'obstacle circulaire situé au centre), il subit un choc élastique.

Origine du modèle

Le « gaz de sphères dures » est le système princeps de la mécanique statistique, étudié dès les origines par les pères fondateurs Maxwell et Boltzmann. On considère N atomes, modélisés par des sphères dures impénétrables, confinés dans une enceinte, interagissants seulement par collisions mutuelles ou avec les parois du récipient (interactions de contact). Pour un gaz macroscopique, le nombre N d'atomes est de l'ordre de grandeur du nombre d'Avogadro. Afin de justifier les fondements de la mécanique statistique, Boltzmann avait introduit une « hypothèse ergodique » qui a longtemps semblé impossible à démontrer rigoureusement.

Le billard de Sinai émerge de l'étude de la dynamique du plus simple des gaz de « sphères dures » : le gaz composé seulement de deux atomes évoluant dans une enceinte bidimensionnelle. Les deux « disques durs » (nous sommes en dimensions 2) évoluent à l'intérieur d'un domaine plan carré, les disques subissant chacun des collisions élastiques sur les bords du carré, ainsi que des collisions mutuelles. En éliminant les degrés de liberté du centre de masse, cette dynamique se réduit à celle du billard de Sinai. Ce modèle de deux particules en interaction par collisions est parfois appelé « gaz de Lorentz »

Propriétés du modèle

Le billard de Sinai est un prototype de système hamiltonien qui exhibe des propriétés chaotiques intéressantes : il est en effet ergodique. Il possède même un exposant de Lyapounov positif, signe du phénomène de sensibilité aux conditions initiales.

Sinai's great achievement with this model was to show that the classical Boltzmann-Gibbs ensemble for an ideal gas is essentially the maximally chaotic Hadamard billiards.

Articles liés

• Hypothèse ergodique
• Théorie ergodique
• Théorie du chaos
• Système dynamique
• Physique statistique

Bibliographie

• Yakov G. Sinai, On the Foundations of the Ergodic Hypothesis for a Dynamical System of Statistical Mechanics, Dokl. Acad. Nauk. 153 (1963) No. 6. Traduction anglaise : Sov. Math Dokl. 4 (1963), 1818-1822).
• Yakov G. Sinai, Dynamical Systems with Elastic Reflections, Russian Math. Surveys 25 (1970), 137-191.
• Vladimir I. Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989), ASIN 0201094061.
• D. Heitmann, J.P. Kotthaus, The Spectroscopy of Quantum Dot Arrays, Physics Today (1993), 56-63. Revue des tests expérimentaux de versions quantiques du billard de Sinai réalisées comme structures mésoscopiques (à l'échelle nanométrique) sur des substrats de silicium.
• S. Sridhar and W. T. Lu, Sinai Billiards, Ruelle Zeta-functions and Ruelle Resonances: Microwave Experiments, Journal of Statistical Physics 108 (5/6) (2002), 755-766.
• Linas Vepstas, Sinai's Billiards, (2001). (Provides ray-traced images of Sinai's billiards in three-dimensional space. These images provide a graphic, intuitive demonstration of the strong ergodicity of the system.)

Notes

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