Théorème porte-manteau

Théorème porte-manteau

Sommaire

Rappel

Soit X une variable aléatoire et soit \scriptstyle\ \left(X_n\right)_{n\ge 1}\ une suite de variables aléatoires, toutes à valeurs dans le même espace métrique (E,d).

Définition — On dit que la suite \scriptstyle\ \left(X_n\right)_{n\ge 1}\ converge en loi vers X si, pour toute fonction \scriptstyle\ \varphi\ continue bornée sur E,

\lim_n\mathbb E\left[\varphi(X_n)\right]\ =\ \mathbb E\left[\varphi(X)\right].

La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre \mathcal L au-dessus de la flèche de convergence:

X_n \xrightarrow{\mathcal{L}} X.

Énoncé

Théorème porte-manteau[1] — Les cinq assertions suivantes sont équivalentes :

1. Xn converge en loi vers X ;

2. pour toute fonction \scriptstyle\ \varphi\ bornée et uniformément continue sur E,

\lim_n\mathbb E\left[\varphi(X_n)\right]\ =\ \mathbb E\left[\varphi(X)\right]\ ;

3. pour tout fermé F de E,

\limsup_n\mathbb P\left(X_n\in F\right)\ \le\ \mathbb P\left(X\in F\right)\ ;

4. pour tout ouvert O de E,

\liminf_n\mathbb P\left(X_n\in O\right)\ \ge\ \mathbb P\left(X\in O\right)\ ;

5. pour tout borélien A de E tel que \scriptstyle\ \mathbb P\left(X\in \partial A\right)=0,\

\lim_n\mathbb P\left(X_n\in A\right)\ =\ \mathbb P\left(X\in A\right).

Ici, \scriptstyle\ \partial A\ désigne la frontière, ou le bord de A.

Conséquence

D'un point de vue pratique, les propriétés 2 à 5 sont rarement utilisées pour démontrer la convergence en loi, mais la propriété 5 est certainement une conséquence importante de la convergence en loi. D'une part, la propriété 5 préfigure le théorème de l'application continue ; par ailleurs la propriété 5 possède un cas particulier d'usage fréquent, dans le cas où S est la droite réelle :

Proposition — Si Xn converge en loi vers X, alors, dès que la fonction de répartition F de X est continue en x, on a :

\lim_n\ F_n(x)\ =\ F(x),

où Fn désigne la fonction de répartition de Xn .

Démonstration

Par définition d'une fonction de répartition, la propriété

\lim_n\ F_n(x)\ =\ F(x),

s'écrit sous la forme :

\lim_n\mathbb P\left(X_n\in A_x\right)\ =\ \mathbb P\left(X\in A_x\right),

pour peu qu'on choisisse

A_x\ =\ ]-\infty, x].

Par ailleurs

\partial A_x\ =\ \{x\},

Donc,

\mathbb P\left(X\in \partial A_x\right)\ =\ \mathbb P\left(X=x\right)\ =\ \ F(x)-F(x_-),

qui est nul si et seulement si F est continue à gauche en x, i.e. si et seulement si F est continue en x (en effet, une fonction de répartition est partout continue à droite).

Cette proposition est en fait une équivalence, et sert souvent, dans le cas des variables aléatoires réelles, de définition de la convergence en loi.

Démonstration du Théorème porte-manteau

1 entraîne 2

Si

\lim_n\mathbb E\left[\varphi(X_n)\right]\ =\ \mathbb E\left[\varphi(X)\right]\

est vrai pour toute fonction \scriptstyle\ \varphi\ bornée et continue sur E, alors cela est vrai également pour toute fonction \scriptstyle\ \varphi\ bornée et uniformément continue sur E.

2 entraîne 3

Pour un fermé F de E, on pose

G_k\ =\ \left\{x\in E\,|\ d(x,F)\le \tfrac1k\right\}.

La suite \scriptstyle\ (G_k)\ est une suite décroissante de fermés de E, et \scriptstyle\ \cap_{k\ge 1}G_k\,=\,\overline F\,=\, F,\ donc :

\lim_n\mathbb P\left(X\in G_k\right)\ =\ \mathbb P\left(X\in F\right).

Ainsi, pour tout \scriptstyle\varepsilon>0,\ on peut trouver k tel que :

\mathbb P\left(X\in G_k\right)\ \le\ \mathbb P\left(X\in F\right)+\varepsilon.
Représentation graphique de l'application ƒ.
Pour tout x dans E, posons
\varphi_k(x)\ =\ f\left(k\times d(x,F)\right),

où ƒ est défini par la figure ci-contre. Les fonctions ƒ et \scriptstyle\ x\longrightarrow d(x,F)\ sont 1-lipschitziennes, donc \scriptstyle\ \varphi_k\ est uniformément continue, et

\lim_n\mathbb E\left[\varphi_k(X_n)\right]\ =\ \mathbb E\left[\varphi_k(X)\right].\

Par ailleurs,

\varphi_k(x)\ =\ \left\{\begin{matrix} 1&\ &\textrm{si}\ x\in F,\\0&\ &\textrm{si}\ x\notin G_k,\\\in[0,1]&\ &\textrm{si}\ x\in G_k\backslash F.\end{matrix}\right.

Donc

1_F\ \le\ \varphi_k\ \le\ 1_{G_k}.\

Finalement

\begin{align}\mathbb P\left(X\in F\right)+\varepsilon&\ge \mathbb P\left(X\in G_k\right)\ =\ \mathbb E\left[1_{G_k}(X)\right] \\ &\ge \mathbb E\left[\varphi_k(X)\right] \\&= \lim_n \mathbb E\left[\varphi_k(X_n)\right] \\ &= \limsup_n \mathbb E\left[\varphi_k(X_n)\right] \\ &\ge\ \limsup_n \mathbb E\left[1_F(X_n)\right] \\ &= \limsup_n \mathbb P\left(X_n\in F\right),\end{align}

cela pour tout \scriptstyle\varepsilon>0.\qquad\ (CQFD)

Historique

D'après Billingsley[2] ou Kallenberg[3], le théorème porte-manteau est dû à Alexandrov[4]. Dans la deuxième édition de Convergence of Probability Measures, Billingsley attribue le théorème à Jean-Pierre Portmanteau, de l'université de Felletin, dans un papier que Jean-Pierre Portmanteau aurait publié en 1915 dans Annals of the University of Felletin, sous le titre farfelu « Espoir pour l'ensemble vide ». Il s'agit d'un canular : il n'y a pas de mathématicien portant le nom de Jean-Pierre Portmanteau, et il n'y a jamais eu d'université à Felletin.

À voir

Notes

  1. ↑ Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, août 1999, 2e éd., 296 p. (ISBN 978-0-471-19745-4), p. 16 .
  2. ↑ Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measures, Wiley, 1968, 1re éd., 263 p., p. 16 .
  3. ↑ Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability [détail des éditions], Théorème 4.25, page 75.
  4. ↑ Additive set functions in abstract spaces, A.D. Aleksandrov - Mat. Sb., 8, 307-348, 1940, 9, 563-628, 1941, 13, 169-238, 1943.
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