Théorème de Jung

Théorème de Jung

En géométrie, le théorème de Jung est une inégalité entre le diamètre d'un ensemble de points dans un espace euclidien et le rayon de la boule englobante minimale de cet ensemble. Il est nommé d'après Heinrich Jung, qui a étudié cette inégalité en 1901.

Énoncé

Soient K une partie compacte de Rn et

d = \max\nolimits_{p,q\in K} \| p - q \|_2

le diamètre de K, qui est la plus grande distance euclidienne entre deux de ses points. Le théorème de Jung établit qu'il existe une boule fermée avec un rayon

r \leq d \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},

qui contient K. Le cas limite de l'égalité est atteinte par le n-simplexe régulier.

Théorème de Jung dans le plan

Le cas le plus commun du théorème de Jung est dans le plan avec n = 2. Dans ce cas, le théorème déclare qu'il existe un cercle entourant tous les points dont le rayon satisfait

r \leq \frac{d}{\sqrt{3}}.

Le cas d'égalité est obtenu pour un triangle équilatéral.

Références

  • Katz, M.: Jung's theorem in complex projective geometry, Quart. J. Math. Oxford (2) 36 (1985) 451-466.
  • Dekster, B. V., « The Jung theorem for the spherical and hyperbolic spaces », dans Acta Math. Sci. Hungar., vol. 67, no 4, 1995, p. 315–331 [lien DOI] 
  • Dekster, B. V., « The Jung theorem in metric spaces of curvature bounded above », dans Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 125, no 8, 1997, p. 2425–2433 [lien DOI] 
  • Jung, Heinrich, « Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt », dans J. Reine Angew. Math., vol. 123, 1901, p. 241–257 
  • Jung, Heinrich, « Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt », dans J. Reine Angew. Math., vol. 137, 1910, p. 310–313 
  • (en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, Dover, 1990 (ISBN 978-0-486-26242-0), chap. 16 



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