Théorème de Charkovski

Théorème de Charkovski

Le théorème de Charkovski est un théorème de mathématiques portant sur l'itération des fonctions continues. Il donne des contraintes sur la présence de points périodiques lorsqu'on itère la fonction f, c'est-à-dire de points x0 tels que la suite xn+1=f(xn) correspondante soit périodique.

Ce théorème fait partie des premiers exemples remarquables de la théorie des systèmes dynamiques, introduisant la notion de chaos. Sa popularité est telle qu'il se retient souvent sous la forme d'un « slogan », correspondant à un énoncé simplifié :

3-cycle implique chaos

Il faut comprendre par là que toute fonction continue présentant un cycle de période 3 admet un cycle de période n pour tout entier n.

Forme générale du théorème

Avant de l'exposer, nous devons d'abord définir l'ordre de Charkovski (en).

L'ordre de Charkovski est une relation d'ordre définie sur les entiers strictement positifs de la façon suivante :

3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n\times 3 \;\triangleleft\; 2^n\times 5 \;\triangleleft\; 2^n\times 7 \;\triangleleft\; \ldots
\;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 3 \;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 5 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n \;\triangleleft\; 2^{n-1} \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^2 \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 1

Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. et on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant.

Le théorème de Charkovski s'énonce alors comme suit :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, à valeurs dans I. Si f admet un point périodique de période n, alors pour tout m succédant à n dans l'ordre de Charkovski, f admet un point périodique de période m .


x est un point périodique de période n si f \circ f \cdots \circ f(x) = x où f apparaît n fois, et où n est le plus petit entier vérifiant cette propriété. Ainsi, si f admet un point périodique de période 3, alors f admet des points périodiques de n'importe quelle période.

Voir aussi

Références

  • A. N. Sharkovsky, Coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself, Internat. J. Chaos Appl. Sci. Engrg. 5 (1995) 1263-1273, traduction anglaise de l'article initial paru en russe dans Ukrain. Math. Zh. 16 (1964) 61-71.
  • T. Li & J. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82 (1975) 985-992
  • B.S. Du, A simple proof of Sharkovsky's theorem, Amer. Math. Monthly 111 (2004) 595-599.
  • B.S. Du, A simple proof of Sharkovsky's theorem revisited, Amer. Math. Monthly 114 (2007) 152-155.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Charkovski de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Liste de théorèmes — par ordre alphabétique. Pour l établissement de l ordre alphabétique, il a été convenu ce qui suit : Si le nom du théorème comprend des noms de mathématiciens ou de physiciens, on se base sur le premier nom propre cité. Si le nom du théorème …   Wikipédia en Français

  • Système dynamique —  Ne doit pas être confondu avec Dynamique des systèmes (en) Pour consulter un article plus général, voir : théorie des systèmes dynamiques. En mathématiques, en physique théorique et en ingénierie, un système dynamique est un… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”