Système de coordonnées bipolaires

Système de coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Définition

Au point de coordonnées bipolaires (τ,σ) correspond le point

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}.

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers ( − a,0) et (a,0) et le cercle passant par le foyer ( − a,0), le point P et le foyer (a,0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a,0) et la distance au foyer ( − a,0).

Notation complexe

On a

x + i y = a \coth \frac{\tau - i \sigma}{2}.


Transformation inverse

Pour déterminer (τ,σ) à partir de (x,y), on a

\tau = \frac{1}{2} \ln \frac{(x + a)^2 + y^2}{(x - a)^2 + y^2}

et

\pi - \sigma = 2 \arctan \frac{2ay}{a^2 - x^2 - y^2 + \sqrt{(a^2 - x^2 - y^2)^2 + 4 a^2 y^2} }.

On remarque aussi que

\tanh \tau = \frac{2 a x}{x^2 + y^2 + a^2}

et que

\tan \sigma = \frac{2 a y}{x^2 + y^2 - a^2}.



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Système de coordonnées bipolaires de Wikipédia en français (auteurs)

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