Système de coordonnées bipolaires

Système de coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Définition

Au point de coordonnées bipolaires (τ,σ) correspond le point

x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}.

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers ( − a,0) et (a,0) et le cercle passant par le foyer ( − a,0), le point P et le foyer (a,0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a,0) et la distance au foyer ( − a,0).

Notation complexe

On a

x + i y = a \coth \frac{\tau - i \sigma}{2}.


Transformation inverse

Pour déterminer (τ,σ) à partir de (x,y), on a

\tau = \frac{1}{2} \ln \frac{(x + a)^2 + y^2}{(x - a)^2 + y^2}

et

\pi - \sigma = 2 \arctan \frac{2ay}{a^2 - x^2 - y^2 + \sqrt{(a^2 - x^2 - y^2)^2 + 4 a^2 y^2} }.

On remarque aussi que

\tanh \tau = \frac{2 a x}{x^2 + y^2 + a^2}

et que

\tan \sigma = \frac{2 a y}{x^2 + y^2 - a^2}.



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Système de coordonnées bipolaires de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Système de coordonnées (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Un système de coordonnées peut être de différents types selon son usage : En géographie et en cartographie : Le système de coordonnées… …   Wikipédia en Français

  • coordonnées — [ kɔɔrdɔne ] n. f. pl. • 1754; de co et ordonnée 1 ♦ Math. Coordonnées d un point M :scalaires qui permettent de repérer ce point sur une courbe, une surface, dans un espace. Coordonnées dans le plan euclidien (dans R2), dans l espace euclidien… …   Encyclopédie Universelle

  • bipolaire — [ bipɔlɛr ] adj. • 1842; de bi et polaire 1 ♦ Phys. Qui a deux pôles. Aimant bipolaire. Électron. Transistor bipolaire : transistor à jonction (par oppos. à transistor à effet de champ) . Math. Coordonnées bipolaires d un point du plan : couple… …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Invariant De Runge Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… …   Wikipédia en Français

  • Invariant de Runge Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… …   Wikipédia en Français

  • Invariant de runge lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur de Laplace-Runge-Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur de Runge-Lenz — Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la …   Wikipédia en Français

  • OPPOSITION (CONCEPT D’) — Le concept d’opposition, sous ses deux formes fondamentales de la contradiction et de la contrariété, est l’un des acquis les plus anciens de la logique formelle, telle que le modèle en a été formulé par Aristote, à partir de l’analyse des… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”