- Schéma noethérien
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En géométrie algébrique, les schémas noethériens sont aux schémas ce que les anneaux noethériens sont aux anneaux commutatifs. Ce sont les schémas qui possèdent un certain nombre de propriétés de finitude. De nombreux résultats fondamentaux en géométrie algébrique sont montrés dans le cadre des schémas noethériens. Il est généralement considéré comme raisonnable de travailler dans la catégorie des schémas noethériens.
Sommaire
Définition
Un schéma affine SpecA est noethérien si A est un anneau noethérien.
Un schéma noethérien est un schémas qui est réunion fini d'ouverts affines noethériens.
Exemples
- La droite projective sur un corps k est noethérien.
- Une réunion disjointe infinie de Speck n'est pas noethérien. Il est cependant localement noethérien, c'est-à-dire que tout point possède un voisinage ouvert affine noethérien.
Constructions de schémas noethériens
À partir d'un anneau noethérien A (par exemple un corps ou l'anneau des entiers ), on peut construire les anneaux de polynômes qui sont noethériens. Les quotients et les localisés d'anneaux noethériens sont noethériens. L'anneau des séries formelles est noethérien. Un complété formel (en) d'un anneau noethérien est noethérien. Essentiellement toutes les constructions habituelles en algèbre commutative conservent la noethérianité. Cependant le produit tensoriel d'anneaux noethériens au-dessus d'un anneau noethérien n'est pas nécessairement noethérien.
Si X est un schéma noethérien, tout sous-schéma ouvert ou fermé de X est noethérien. Tout schéma de type fini sur un schéma noethérien est noethérien. Ainsi toute variété algébrique est un schéma noethérien.
Propriétés topologiques
L'espace topologique sous-jacent à un schéma noethérien est quasi-compact, c'est-à-dire que de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Cet espace topologique est noethérien: c'est-à-dire que toute suite décroissante de parties fermées est stationnaire. Sous une forme équivalente, cela s'énonce en disant que toute partie non-vide de parties fermées admet une partie fermée minimale (pour la relation de l'inclusion).
Récurrence noethérienne Dans un espace topologique noethérien X, on considère une propriété (P) concernant les parties fermées de X. Supposons que pour toute partie fermée F, on a
(P) vérifiée pour toute partie fermée strictement contenue dans F implique que (P) est vérifiée pour F alors (P) est vérifiée pour toute partie fermée de X.
Un espace topologique noethérien a un nombre fini de composantes irréductibles et donc un nombre fini de composantes connexes. Celles-ci sont alors ouvertes et fermées.
Si un espace topologique noethérien est de dimension finie, alors toute suite croissante de parties fermées est stationnaire.
Notes
Grothendieck a développé toute une machinerie pour se passer de l'hypothèse noethérienne.[réf. nécessaire]
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