Règle d'or de Fermi

Règle d'or de Fermi

En physique quantique, la règle d'or de Fermi est un moyen de calculer le taux de transition (probabilité de transition par unité de temps) à partir d'un état propre énergétique d'un système quantique vers un continuum d'états propres, par perturbation.

On considère que le système débute dans un état propre, \scriptstyle | i\rangle, d'un hamiltonien \scriptstyle H_0 . On considère l'effet d'un hamiltonien perturbatif (pouvant être dépendant du temps), \scriptstyle H'. Si \scriptstyle H' est indépendant du temps, le système n'atteint que les états du continuum ayant la même énergie de l'état initial. Si \scriptstyle H' est oscillant en fonction du temps avec une fréquence angulaire \scriptstyle \omega, la transition est vers les états avec des énergies différentes de \scriptstyle \hbar\omega de l'énergie de l'état initial. Dans les deux cas, la probabilité de transition de un à plusieurs par unité de temps à partir de l'état \scriptstyle| i \rangle vers un ensemble d'états finaux \scriptstyle| f\rangle est donné, au premier ordre de perturbation, par :

T_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi} {\hbar} \left | \langle f|H'|i \rangle \right |^{2} \rho,

où \scriptstyle \rho est la densité d'états finals (nombre d'états par unité d'énergie) et \scriptstyle \langle f|H'|i \rangle est l'élément de matrice (en notation bra-ket) de \scriptstyle H' de perturbation entre les états final et initial. Cette probabilité de transition est aussi appelé probabilité de dégénérescence et est liée au temps de vie moyen.

La règle d'or de Fermi est valide lorsque l'état initial n'a pas été suffisamment affaibli par diffusion dans les états finaux.

La manière la plus commune d'établir l'équation est de commencer avec la théorie de perturbation dépendante du temps et de prendre la limite d'absorption dans l'hypothèse que le temps de mesure est bien plus important que le temps nécessaire à la transition.

Bien que dénommée d'après Enrico Fermi, l'essentiel du travail conduisant à la règle d'or fut effectué par Paul Dirac[1] qui formula une équation quasiment identique, incluant les trois composants d'une constante, d'un élément de matrice de la perturbation et d'une différence d'énergie. C'est Enrico Fermi qui la qualifia de « règle d'or n°2 » en raison de son utilité[2]. C'est donc un exemple de loi de Stigler.

Seule la valeur absolue de l'élément de matrice \scriptstyle \langle f|H'|i \rangle est prise en compte par la règle d'or de Fermi. La phase de l'élément de matrice, cependant, contient une information séparée sur le processus de transition. Il apparaît dans les expressions qui complètent la règle d'or dans l'approche semi-classique de l'équation de Boltzmann du transport électronique[3].

Références

  1. ↑ (en) P.A.M. Dirac, « The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation », dans Proc. Roy. Soc. (London) A, vol. 114, no 767, 1er mars 1927, p. 243–265 [lien DOI (page consultée le 12 mai 2007)] , voir les équations (24) et (32).
  2. ↑ (en) E. Fermi, Nuclear Physics, University of Chicago Press, 1950 .
  3. ↑ (en) N. A. Sinitsyn, Q. Niu and A. H. MacDonald, « Coordinate Shift in Semiclassical Boltzmann Equation and Anomalous Hall Effect », dans Phys. Rev. B, vol. 73, 2006, p. 075318 [lien DOI] 

Lien externe


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