Relation de Schrödinger-Robertson

Relation de Schrödinger-Robertson

La relation de Schrödinger-Robertson est une généralisation de l'inégalité de Heisenberg formalisée dès 1930 par Howard Percy Robertson, puis complétée par Erwin Schrödinger.

Sommaire

Énoncé

Soient deux observables A et B et les opérateurs hermitiens \hat{A} et \hat{B} correspondants. Pour un état | \psi \rangle donné, le produit des écarts types Δ A et Δ B vérifie :

\Delta{A} \cdot \Delta{B} \geq \sqrt{ \frac{1}{4}\left|\left\langle\left[{\hat{A}},{\hat{B}}\right]\right\rangle_\psi\right|^2 +{1\over 4} \left|\left\langle\left\{ \hat{A}-\langle \hat{A}\rangle_\psi,\hat{B}-\langle \hat{B}\rangle_\psi \right\} \right\rangle_\psi \right|^2}

où :

  • \langle\,\rangle_\psi désigne la moyenne sur l'état | \psi \rangle
  • [\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} désigne le commutateur de \hat{A} et \hat{B}
  • \{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A} désigne l'anticommutateur de \hat{A} et \hat{B}

Applications

La relation de Schrödinger-Robertson fournit une équation d'incertitude pour tout couple d'observables ne commutant pas, notamment :

  • La position et le moment d'une particule :

\Delta x_i \Delta p_i \geq \frac{\hbar}{2}

  • L'énergie et la position d'une particule dans un potentiel unidimensionnel V(x) :

\Delta E \Delta x \geq {\hbar\over 2m} \left|\left\langle p_{x}\right\rangle\right|

\Delta N \Delta \phi \geq 1

Références

  1. ↑ K.K. Likharev, A.B. Zorin ; Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions ; J. Low Temp. Phys. ; Vol. 59, pp. 347–382 ; 1985
  2. ↑ P.W. Anderson ; Special Effects in Superconductivity ; Lectures on the Many-Body Problem ; Vol. 2 ; 1964, New York ; Academic Press


Voir aussi


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