Opérateur accrétif

Opérateur accrétif: En mathématiques, un opérateur accrétif est une multifonction définie entre espaces de Banach, qui possède une propriété de monotonie analogue à celle que possède un opérateur monotone sur un espace de Hilbert.

Sommaire

1 Multifonction

2 Définition

3 Annexes

3.1 Note

3.2 Article connexe

3.3 Bibliographie

Multifonction

Soient $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ deux ensembles. Une multifonction

$T:\mathbb{E}\multimap\mathbb{F}$

est une fonction définie sur $\mathbb{E}$ à valeurs dans les parties de $\mathbb{F}$ : si $x\in\mathbb{E}$ , $Tx\equiv T(x)$ est un sous-ensemble de $\mathbb{F}$ .

Le graphe, le domaine et l'image de $T$ se notent et se définissent respectivement par

$\mathcal{G}(T):=\{(x,y)\in\mathbb{E}\times\mathbb{F}: y\in Tx\},$

$\mathcal{D}(T):=\{x\in\mathbb{E}: Tx\ne\varnothing\}~=~\pi_\mathbb{E}(\mathcal{G}(T)),$

$\mathcal{R}(T):=\{y\in\mathbb{F}: \exists\,x\in \mathbb{E} ~\mbox{tel que}~y\in Tx\}=\pi_\mathbb{F}(\mathcal{G}(T)),$

où $\pi_\mathbb{E}:\mathbb{E}\times \mathbb{F}\to \mathbb{E}:(x,y)\mapsto x$ et $\pi_\mathbb{F}:\mathbb{E}\times\mathbb{F}\to \mathbb{F}:(x,y)\mapsto y$ sont les projections canoniques sur $\mathbb{E}$ et $\mathbb{F}$ .

On rappelle que la multifonction réciproque de $T$ est la multifonction notée $T^{-1}:\mathbb{F}\multimap\mathbb{E}$ et définie par

$T^{-1}(y)=\{x\in\mathbb{E}:y\in T(x)\}.$

Si $\mathbb{F}$ est un espace vectoriel, si $T:\mathbb{E}\multimap\mathbb{F}$ est une multifonction et si $\alpha\in\R$ , on définit la multifonction $\alpha\,T$ en $x\in\mathbb{E}$ par

$(\alpha\,T)(x)=\{\alpha\,y:y\in T(x)\}.$

Définition

Soit $\mathbb{E}$ un espace normé dont la norme est notée $\|\cdot\|$ .

Opérateur accrétif — On dit qu'un opérateur $T:\mathbb{E}\multimap\mathbb{E}$ est accrétif si pour tout $λ > 0$ , pour tout $(x_1,y_1)\in\mathcal{G}(T)$ et pour tout $(x_2,y_2)\in\mathcal{G}(T)$ , on a

$\|x_1-x_2\|\leq\|(x_1-x_2)+\lambda(y_1-y_2)\|.$

L'accrétivité est une manière d'exprimer la monotonicité d'un opérateur dans un espace dépourvu de produit scalaire (voir ce résultat).

On voit que si $T$ est accrétif, quel que soit $λ > 0$ et $z\in\mathbb{E}$ , l'inclusion

$x+\lambda Tx\ni z$

a au plus une solution $x$ .

Annexes

Note

Article connexe

Opérateur monotone

Bibliographie

H. Brézis (1973). Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. ISBN 978-0-7204-2705-9.

(en) T. Kato (1970). Accretive operators and nonlinear evolution equations in Banach spaces. Nonlinear Functional Analysis, Proc. Symp. Pure Math., Vol 18, Part I. F. Browder, ed. Amer. Math., 138-161.

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