- Opérateur accrétif
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En mathématiques, un opérateur accrétif est une multifonction définie entre espaces de Banach, qui possède une propriété de monotonie analogue à celle que possède un opérateur monotone sur un espace de Hilbert.
Sommaire
Multifonction
Soient
et
deux ensembles. Une multifonction
est une fonction définie sur
à valeurs dans les parties de
: si
,
est un sous-ensemble de
.
Le graphe, le domaine et l'image de T se notent et se définissent respectivement par
où
et
sont les projections canoniques sur
et
.
On rappelle que la multifonction réciproque de T est la multifonction notée
et définie par
Si
est un espace vectoriel, si
est une multifonction et si
, on définit la multifonction
en
par
Définition
Soit
un espace normé dont la norme est notée
.
Opérateur accrétif — On dit qu'un opérateur
est accrétif si pour tout λ > 0, pour tout
et pour tout
, on a
L'accrétivité est une manière d'exprimer la monotonicité d'un opérateur dans un espace dépourvu de produit scalaire (voir ce résultat).
On voit que si T est accrétif, quel que soit λ > 0 et
, l'inclusion
a au plus une solution x.
Annexes
Note
Article connexe
Bibliographie
- H. Brézis (1973). Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. ISBN 978-0-7204-2705-9.
- (en) T. Kato (1970). Accretive operators and nonlinear evolution equations in Banach spaces. Nonlinear Functional Analysis, Proc. Symp. Pure Math., Vol 18, Part I. F. Browder, ed. Amer. Math., 138-161.
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