Inégalité de Tchebychev pour les sommes

Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Sommaire

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

De même, si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).
Démonstration

Par suite de la décroissance des suites \scriptstyle\ (a_k)_{1\le k\le n} \ et \scriptstyle\ (b_k)_{1\le k\le n}, \ on peut écrire :

\forall i,j,\quad (a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0.

En sommant selon i, on obtient donc :

\forall j,\quad \sum_{i=1}^na_ib_i -a_j\sum_ib_i-b_j\sum_ia_i+na_jb_j\geq 0.

Puis, en sommant cette fois selon j, on obtient :

n \sum_{i=1}^na_ib_i-\sum_{j=1}^na_j\sum_{i=1}^nb_i-\sum_{j=1}^nb_j\sum_{i=1}^na_i+n\sum_{j=1}^na_jb_j\geq 0,

d'où l'inégalité demandée.

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0,1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

\int_{0}^1 fg \geq \int_{0}^1 f \times\int_{0}^1 g.\,

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0,1], alors

\text{Cov}\left(f(X),\,g(X)\right) \geq0,\,

ou bien, de manière équivalente,

\mathbb{E}\left[f(X)g(X)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(X)\right] \mathbb{E}\left[g(X)\right].\,
  • L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur \scriptstyle\ [\![1,n]\!],\ puis de poser f(i)=ai et g(i)=bi .
  • La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0,1].
  • La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi

Pages liées

Bibliographie

  1. ↑ (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », dans ["Communications in Mathematical Physics"], vol. 22, 1971, p. 89-103 (ISSN 0010-3616) 
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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Tchebychev pour les sommes de Wikipédia en français (auteurs)

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