Inégalité de Tchebychev pour les sommes

Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Sommaire

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).

De même, si \scriptstyle\ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n\ et \scriptstyle\ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,\ alors

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).
Démonstration

Par suite de la décroissance des suites \scriptstyle\ (a_k)_{1\le k\le n} \ et \scriptstyle\ (b_k)_{1\le k\le n}, \ on peut écrire :

\forall i,j,\quad (a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq 0.

En sommant selon i, on obtient donc :

\forall j,\quad \sum_{i=1}^na_ib_i -a_j\sum_ib_i-b_j\sum_ia_i+na_jb_j\geq 0.

Puis, en sommant cette fois selon j, on obtient :

n \sum_{i=1}^na_ib_i-\sum_{j=1}^na_j\sum_{i=1}^nb_i-\sum_{j=1}^nb_j\sum_{i=1}^na_i+n\sum_{j=1}^na_jb_j\geq 0,

d'où l'inégalité demandée.

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0,1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

\int_{0}^1 fg \geq \int_{0}^1 f \times\int_{0}^1 g.\,

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0,1], alors

\text{Cov}\left(f(X),\,g(X)\right) \geq0,\,

ou bien, de manière équivalente,

\mathbb{E}\left[f(X)g(X)\right] \geq \mathbb{E}\left[f(X)\right] \mathbb{E}\left[g(X)\right].\,
  • L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur \scriptstyle\ [\![1,n]\!],\ puis de poser f(i)=ai et g(i)=bi .
  • La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0,1].
  • La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi

Pages liées

Bibliographie

  1. ↑ (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », dans ["Communications in Mathematical Physics"], vol. 22, 1971, p. 89-103 (ISSN 0010-3616) 
  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Tchebychev pour les sommes de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Inégalité de réarrangement — Sommaire 1 Énoncé 2 Démonstration 3 Applications 3.1 Job shop à une machine 3.2 …   Wikipédia en Français

  • Inégalité FKG — L’inégalité FKG, due à Fortuin, Kasteleyn et Ginibre[1] est une version généralisée de l inégalité de Tchebychev pour les sommes. C est une inégalité de corrélation utilisée, par exemple, en théorie de la percolation, et dans l étude du modèle de …   Wikipédia en Français

  • Inégalité de Hoeffding — L’inégalité de Hoeffding est une inégalité de concentration concernant les sommes de variables aléatoires indépendantes et bornées. Il existe une version plus générale de cette inégalité, concernant une somme d accroissements de martingales,… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • FONCTIONS (REPRÉSENTATION ET APPROXIMATION DES) — Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d’étudier de manière efficace leurs propriétés. C’est le cas des …   Encyclopédie Universelle

  • PROBABILITÉS (CALCUL DES) — Le calcul des probabilités est certainement l’une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu’il ait en fait trois siècles et demi d’existence. Après s’être cantonné dans l’étude des jeux de hasard, il s’est introduit dans presque… …   Encyclopédie Universelle

  • Intégration (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir intégration. interprétée comme l’aire sous la courbe de f …   Wikipédia en Français

  • Fonction De Compte Des Nombres Premiers — En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée (à ne pas confondre avec la constante π). Les 60 premièr …   Wikipédia en Français

  • Fonction de compte des nombres premiers — En mathématiques, la fonction de compte des nombres premiers est la fonction comptant le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un nombre réel x. Elle est notée (à ne pas confondre avec la constante π). Les 60 premières valeurs de π(n) …   Wikipédia en Français

  • Loi binomiale — Binomiale Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”