Intégrales de Borwein
- Intégrales de Borwein
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En mathématiques, les intégrales de Borwein, découvertes par David Borwein (en) et Jonathan Borwein (en) en 2001, sont des intégrales mettant en jeu des produits de sinc(ax), où sinc est la fonction sinus cardinal, donnée par sinc(x) = sin(x)/x. Ces intégrales présentent des régularités apparentes qui finissent par cesser. Ainsi,
![\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx=\pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi/2
\end{align}](0/e200b4db77f532963cb198e4447dd191.png)
Ce schéma continue jusqu'à
Cependant, à l'étape suivante, on a l'étrange résultat[1]
Plus généralement, des intégrales similaires ont pour valeur π/2 chaque fois que les nombres 3, 5, ... sont remplacés par des réels positifs dont la somme des inverses est inférieure à 1. Dans l'exemple précédent, 1/3 + 1/5 + ... + 1/13 < 1, mais 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 > 1.
Notes
Références
- (en) David Borwein et Jonathan M. Borwein, Some remarkable properties of sinc and related integrals, vol. 5, 2001, 73–89 p. [lire en ligne]
Wikimedia Foundation.
2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Intégrales de Borwein de Wikipédia en français (auteurs)
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