Indice de Moran

Indice de Moran

En statistiques, l’indice de Moran' (« Moran's I » est une mesure de l'autocorrélation spatiale developpée par Patrick A.P. Moran[1]. L'auto-corrélation spatiale est caractérisée par une corrélation entre les mesures géographiquement voisines d'un phénomène mesuré.

Sommaire

Définition

L'indice I de Moran est défini par :

I = \frac{N} {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}} \frac {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}(X_i-\bar X) (X_j-\bar X)} {\sum_{i} (X_i-\bar X)^2}

où N est le nombre de mesures indexées par i et j; X est la variable des mesures du phénomène auquel on s’intéresse; \bar X is la moyenne de X; et wij est un élément de la matrice des poids spatiaux.

L'espérance mathématique de l'I de Moran sous des hypothèses de non auto-corrélation spatiale est donnée par :

E(I) = \frac{-1} {N-1}

Sa variance est égale à

Var(I) = \frac{NS_4-S_3S_5} {(N-1)(N-2)(N-3)(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2}

où

S_1 = \frac {1} {2} \sum_{i} \sum_{j} (w_{ij}+w_{ji})^2
S_2 = \frac {\sum_{i} ( \sum_{j} w_{ij} + \sum_{j} w_{ji})^2} {1}
S_3 = \frac {N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^4} {(N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^2)^2}
S_4 = \frac {(N^2-3N+3)S_1 - NS_2 + 3 (\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1}
S_5 = S_1 - 2NS_1 + \frac {6(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1}

Les valeur négatives (positives) de l'indice indiquent une auto-corrélation spatiale négative (positive). Ses valeurs s'étendent de − 1 (indiquant une dispersion parfaite) à + 1 (corrélation parfaite). Une valeur nulle est significatif d'un modèle spatial parfaitement aléatoire. Pour le test d'hypothèse statistique, l'indice I de Moran peut être transformé en Z-scores dans lequel les valeurs plus grandes que + 1,96 ou plus petites que − 1,96 indiquent une auto-corrélation spatiale significatives avec un taux d'erreur de 5 %.

L'indice I de Moran est relié à celui de Geary, mais n'est pas identique. L'indice I de Moran est une mesure de auto-corrélation spatiale globale, tandis que l'Indice de Geary est plus sensible à l'auto-corrélation spatiale locale.

Notes et références

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Moran's I » (voir la liste des auteurs)


Références

  1. ↑ Moran, P.A.P. (1950), "Notes on Continuous Stochastic Phenomena," Biometrika, 37, 17–33.

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Moran, P.A.P. (1950), "Notes on Continuous Stochastic Phenomena," Biometrika, 37, 17–23.

Articles connexes

Liens externes

(en) Esri,Spatial Autocorrelation (Morans I) (Spatial Statistics)
  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

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