Formule de Cauchy pour l'intégration successive
- Formule de Cauchy pour l'intégration successive
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La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notamment utilisée en analyse fractionnaire.
Cas scalaire
Soit ƒ une fonction réelle continue. La nième primitive de ƒ est :
![f^{[n]}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm d\sigma_{n} \cdots \, \mathrm d\sigma_2 \, \mathrm d\sigma_1,](0/f2086a7fc3aaa66d8752453b9beb92b0.png)
La version condensée en une seule intégrale est :
![f^{[n]}(x) = \frac1{(n-1)!} \int_a^x\left(x-y\right)^{n-1} f(y)\,\mathrm dy.](c/bdc82e9a2cc786c510e1bbd89b1d6cee.png)
Une preuve peut être donnée par récurrence. Puisque ƒ est continue, l'initialisation est évidente :
![\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f^{[1]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(y)\,\mathrm dy = f(x).](a/93ac43282f18c20e05f8e9ced1df6f0f.png)
Quelques calculs nous amènent à :
![\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f^{[n]}(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac1{(n-1)!} \int_a^x \left(x-y\right)^{n-1} f(y) \, \mathrm dy = f^{[n-1]}(x).](9/9398f8c45e403f6248c217ad954ad155.png)
Donc ƒ[n](x) est bien la nième primitive de ƒ.
Référence
(en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002 (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193
Voir aussi
Article connexe
Lien externe
(en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge, 2000
Wikimedia Foundation.
2010.
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