Fonction de Dawson

Fonction de Dawson
La fonction de Dawson, F(x), près de l'origine
Une fonction de Dawson généralisée, D − (x), près de l'origine (voir le texte)

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction de Dawson (portant le nom de John M. Dawson, et parfois appelée intégrale de Dawson) est une fonction spéciale, définie comme étant une solution particulière de l'équation différentielle y' + 2xy = 1.

Sommaire

Définition et propriétés

La fonction de Dawson peut être définie comme la solution de l'équation différentielle

\frac{dF}{dx} + 2xF=1\,\!

satisfaisant la condition initiale  F(0) = 0 ; la méthode de variation de la constante permet alors d'en déduire que

F(x) = e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt.\,\!.

La fonction de Dawson peut être calculée à partir de la fonction d'erreur erf : on a

F(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x) = - {i \sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erf} (ix)

où erfi est la fonction d'erreur imaginaire, erfi(x) = −i erf(ix).

Pour x proche de 0, on a F(x)\simeq x et pour les grandes valeurs de |x|, F(x)\simeq 1/(2 x) ; plus précisément, au voisinage de 0,

F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-2)^{n}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n+1)}\, x^{2n+1}=x-\frac23x^3+\frac4{15}x^5-\dots

(cette série entière converge pour tout x) et, en +\infty, on a le développement asymptotique

F(x)=\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^3} + \frac{3}{8x^5}+\dots+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2^{n+1} x^{2n+1}}+o(x^{-2n-2} )

(qui, au contraire, correspond pour tout x à une série divergente).

Généralisations

On trouve parfois pour la fonction de Dawson la notation D_+(x)=e^{-x^2} \int_0^x e^{t^2}\,dt\,\!, et la fonction "symétrique" est alors notée D_-(x)=e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2}\,dt\,\! ; avec ces notations, on a donc D_+(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{-x^2} \mathrm{erfi} (x) et D_-(x) = {\sqrt{\pi} \over 2} e^{x^2} \mathrm{erf} (x).

Notes

Références

Liens externes


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de Dawson de Wikipédia en français (auteurs)

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