Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier

Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier

La période du développement décimal périodique d’un nombre rationnel est le cycle composé d’une séquence finie de chiffres qui se répète à l’infini.

L'inverse d'un nombre premier, noté 1/p possède un développement décimal périodique dont la longueur de la période est notée δ(p)

Ceci exclut les nombres premiers 2 et 5 dont l'inverse ne possède pas de développement décimal périodique

Exemple :

1/7 = 0,142857 142857 142857...

δ(7) = 6

Sommaire

Classement des nombres premiers

Le tableau ci-dessous propose un classement des nombres premiers en fonction de la longueur de la période de leurs inverses.

Tableau des nombres premiers dont δp <101

1
3
2
11
3
37
4
101
5
41 271
6
7 13
7
239 4649
8
73 137
9
333667
10
9091
11
21649 513239
12
9901
13
53 79 265371653
14
909091
15
31 2906161
16
17 5882353
17
2071723 5363222357
18
19 52579
19
1111111111111111111
20
3541 27961
21
43 1933 10838689
22
23 4093 8779
23
11111111111111111111111
24
99990001
25
21401 25601 182521213001
26
859 1058313049
27
757 440334654777631
28
29 281 121499449
29
3191 16763 43037 62003 77843839397
30
211 241 2161
31
2791 6943319 57336415063790604359
32
353 449 641 1409 69857
33
67 1344628210313298373
34
103 4013 21993833369
35
71 123551 102598800232111471
36
999999000001
37
2028119 247629013 2212394296770203368013
38
909090909090909091
39
900900900900990990990991
40
1676321 5964848081
41
83 1231 538987 201763709900322803748657942361
42
127 2689 459691
43
173 1527791 1963506722254397 2140992015395526641
44
89 1052788969 1056689261
45
238681 4185502830133110721
46
47 139 2531 549797184491917
47
35121409 316362908763458525001406154038726382279
48
9999999900000001
49
505885997 1976730144598190963568023014679333
50
251 5051 78875943472201
51
613 210631 52986961 13168164561429877
52
521 265371653 1900381976777332243781
53
107 1659431 1325815267337711173 47198858799491425660200071
54
70541929 14175966169
55
1321 62921 83251631 1300635692678058358830121
56
7841 127522001020150503761
57
21319 10749631 3931123022305129377976519
58
59 154083204930662557781201849
59
2559647034361 4340876285657460212144534289928559826755746751
60
61 4188901 39526741
61
733 4637 329401 974293 1360682471 106007173861643 7061709990156159479
62
909090909090909090909090909091
63
10837 23311 45613 45121231 1921436048294281
64
19841 976193 6187457 834427406578561
65
162503518711 5538396997364024056286510640780600481
66
599144041 183411838171
67
493121 79863595778924342083 28213380943176667001263153660999177245677
68
28559389 1491383821 2324557465671829
69
277 203864078068831 1595352086329224644348978893
70
4147571 265212793249617641
71
241573142393627673576957439049 45994811347886846310221728895223034301839
72
3169 98641 3199044596370769
73
12171337159 1855193842151350117 49207341634646326934001739482502131487446637
74
7253 422650073734453 296557347313446299
75
151 4201 15763985553739191709164170940063151
76
722817036322379041 1369778187490592461
77
5237 42043 29920507 136614668576002329371496447555915740910181043
78
157 6397 216451 1058313049 388847808493
79
317 6163 10271 307627 49172195536083790769 3660574762725521461527140564875080461079917
80
5070721 19721061166646717498359681
81
163 9397 2462401 676421558270641 130654897808007778425046117
82
2670502781396266997 3404193829806058997303
83
3367147378267 9512538508624154373682136329 346895716385857804544741137394505425384477
84
226549 4458192223320340849
85
262533041 8119594779271 4222100119405530170179331190291488789678081
86
57009401 2182600451 7306116556571817748755241
87
4003 72559 310170251658029759045157793237339498342763245483
88
617 16205834846012967584927082656402106953
89
497867 103733951 104984505733 5078554966026315671444089 403513310222809053284932818475878953159
90
29611 3762091 8985695684401
91
547 14197 17837 4262077 43442141653 316877365766624209 110742186470530054291318013
92
1289 18371524594609 4181003300071669867932658901
93
900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
94
6299 4855067598095567 297262705009139006771611927
95
191 59281 63841 1289981231950849543985493631 965194617121640791456070347951751
96
97 206209 66554101249 75118313082913
97
12004721 846035731396919233767211537899097169 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
98
197 5076141624365532994918781726395939035533
99
199 397 34849 362853724342990469324766235474268869786311886053883
100
60101 7019801 182521213001 14103673319201 78875943472201 1680588011350901


Factorisation de 1 + 10 + 102 + ... + 10n

Soit N1=1, N2=11, N3=111, ..., Nk= \sum_{i=0}^{k-1}10^i = 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10k-1 pour k \in \N

La factorisation de Nk peut se décomposer comme le produit de P x K x F[1] ou

  • P : produit des nombres premiers p dont δp=k
  • K : produit des nombres premiers p dont δp est un diviseur de k
  • F : produits des nombres pq ou p est un nombre premier et q un exposant >0 \in \N tel que :
    • pq soit un diviseur de k
    • k ≥ δ p x p


  1. ↑ calculé pour k<101


Exemple pour k=6 :

Factorisation de 111111 (1+10+102+103+104+105)

  • P = 7 x 13
  • K = 11 x 37
  • K = 3

111111 = 7 x 13 x 11 x 37 x 3


Exemple pour k = 78 :

Factorisation de 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

  • P = 157 x 6397 x 216451 x 1058313049 x 388847808493
  • K = 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991
  • K = 3 x 13

Calcul des facteurs K et F

k Diviseur de k Equivalent en nombre premier p (δ(p) est un diviseur de k) Coef. F
1
2
3 3
4 2 11
5
6 2-3 11x37 3
7
8 2-4 11x101
9 3 37 32
10 2-5 11x41x271
11
12 2-3-4-6 11x37x101x7x13 3
13
14 2-7 11x239x4649
15 3-5 37x41x271 3
16 2-4-8 11x101x73x137
17
18 2-3-6-9 11x37x7x13 32
19
20 2-4-5-10 11x101x41x271x9091
21 3-7 37x239x4649 3
22 2-11 11x21649x513239 11
23
24 2-3-4-6-8-12 11x37x101x7x13 3
25 5 41x271
26 2-13 11x53x79x265371653
27 3-9 37x333667 33
28 2-4-7-14 11x101x239x4649x909091
29
30 2-3-5-6-10-15 11x37x41x271x7x13x9091x31x2906161 3
31
32 2-4-8-16 11x101x73x137x17x5882353
33 3-11 37x21649x513239 3
34 2-17 11x2071723x5363222357
35 5-7 41x271x239x4649
36 2-3-4-6-9-12-18 11x37x101x7x13x333667x9901x19x52579 32
37
38 2-19 11x1111111111111111111
39 3-13 37x53x79x265371653 3
40 2-4-5-8-10-20 11x101x41x271x73x137x9091x3541x27961
41
42 2-3-6-7-14-21 11x37x7x13x239x4649x909091x43x1933x10838689 3X7
43
44 2-4-11-22 11x101x21649x513239x23x4093x8779 11
45 3-5-9-15 37x41x271x333667x31x2906161 32
46 2-23 11x11111111111111111111111
47
48 2-3-4-6-8-12-16-24 11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001 3
49 7 239x4649
50 2-5-10-25 11x41x271x9091x21401x25601x182521213001
51 3-17 37x2071723x5363222357 3
52 2-4-13-26 11x101x53x79x265371653x859x1058313049
53
54 2-3-9-27 11x37x333667x757x440334654777631 33
55 5-11 41x271x21649x513239
56 2-4-7-8-14-28 11x101x239x4649x73x137x909091x29x281x121499449
57 3-19 37x1111111111111111111 3
58 2-29 11x3191x16763x43037x62003x77843839397
59
60 2-3-4-5-6-10-12-15-20-30 11x37x101x41x271x7x13x9091x9901x31x2906161x3541x27961x211x241x2161 3
61
62 2-31 11x2791x6943319x57336415063790604359
63 3-7-9-21 37x239x4649x333667x43x1933x10838689 32
64 2-4-8-16-32 11x101x73x137x17x5882353x353x449x641x1409x69857
65 5-13 41x271x9901
66 2-3-6-11-22-33 11x37x7x13x21649x513239x23x4093x8779x67x1344628210313298373 3X11
67
68 2-4-17-34 11x101x207123x5363222357x103x4013x21993833369
69 3-23 37x11111111111111111111111 3
70 2-5-7-10-14-35 11x41x271x239x4649x9091x909091x71x123551x102598800232111471
71
72 2-3-4-6-8-9-12-18-24-36 11x37x101x7x13x73x137x333667x9901x19x52579x99990001x999999000001 32
73
74 2-37 1x2028119x247629013x2212394296770203368013
75 3-5-15-25 37X41X271X31X2906161X99990001 3
76 2-4-19-38 11x101x1111111111111111111x909090909090909091
77 7-11 239x4649x21649x513239
78 2-3-6-13-26-39 11x37x7x13x53x79x265371653x859x1058313049x900900900900990990990991 3X13
79
80 2-4-5-8-10-16-20-40 11X101X41X271X73X137X9091X17X5882353X3541X27961X1676321X5964848081
81 3-9-27 37x333667x757x440334654777631 34
82 2-41 11x83x1231x538987x201763709900322803748657942361
83
84 2-3-4-6-7-12-14-21-28-42 11x37x101x7x13x239x4649x9901x909091x43x1933x10838689x29x281x121499449x127x2689x459691 3*7
85 5-17 41x271x2071723x5363222357
86 2-43 11x173x1527791x1963506722254397x2140992015395526641
87 3-29 37x3191x16763x43037x62003x77843839397 3
88 2-4-8-11-22-44 11x101x73x137x21649x513239x23x4093x8779x89x1052788969x1056689261 11
89
90 2-3-5-6-9-10-15-18-30-45 11x37x41x271x7x13x333667x9091x31x2906161x19x52579x211x241x2161x238681x4185502830133110721 3
91 7-13 239x4649x53x79x265371653
92 2-4-23-46 11x101x11111111111111111111111x47x139x2531x549797184491917
93 3-31 37x2791x6943319x57336415063790604359 3
94 2-47 11x35121409x316362908763458525001406154038726382279
95 5-19 41x271x1111111111111111111
96 2-3-4-6-8-12-16-24-32-48 11x37x101x7x13x73x137x9901x17x5882353x99990001x353x449x641x1409x69857x9999999900000001 3
97
98 2-7-14-49 11x239x4649x909091x505885997x1976730144598190963568023014679333
99 3-9-11-33 37x333667x21649x513239x67x1344628210313298373 3
100 2-4-5-10-20-25-50 11x101x41x271x9091x3541x27961x21401x25601x182521213001



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Développement décimal périodique de l’inverse d’un nombre premier de Wikipédia en français (auteurs)

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