- Conjecture de Bieberbach
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La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique qui exprime que toute fonction entière f injective dans le disque unité et s'écrivant
avait des coefficients satisfaisant à l'inégalité
.Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.
On définit habituellement la classe S des fonctions f injectives dans le disque unité telles que a0 = 0 et a1 = 1. Ces fonctions sont dites "slicht". La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme
.Le cas particulier n=2 a été démontré par Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème de Koebe : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.
Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood
.Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach, il démontra la conjecture plus forte de Milin (1971) qui l'impliquait.
Bibliographie
- Joseph Oesterlé, Démonstration de la conjecture de Bieberbach, Séminaire Bourbaki, 27 (1984-1985), Exposé No. 649, p. 319-334
- (en) Peter L. Duren, Univalent functions, Springer, coll. « Grundlehren der math. Wiss. » (no 259), 1983 (ISBN 978-0-387-90795-6)
- (en) Paul Zorn, « The Bieberbach Conjecture », dans Mathematics Magazine, vol. 59, no 3, juin 1986, p. 131-148
Catégories :- Conjecture démontrée
- Théorème d'analyse
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