- Mathématiques tropicales
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Les mathématiques tropicales, ou géométrie tropicale, sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition (algèbre min-plus)[1], mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition[2].
Les mathématiques tropicales furent dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon.
Sommaire
Semi-corps max-plus
L'ensemble R des nombres réels, muni des opérations de maximum et d'addition, possède une structure de semi-corps.
Opérateurs mathématiques
Définitions des opérateurs
- On définit l'addition tropicale
par :
.
Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi,
.
- On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical)
(ou
) par :
.
Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi,
.
Propriétés
Propriétés des opérations tropicales comparées à celles des opérations usuelles Dans Addition tropicale Addition Multiplication tropicale
(mêmes propriétés que l'addition usuelle)
Multiplication Commutativité Oui
car max(a,b) = max(b,a)Exemple :
et
Oui
a + b = b + a
Exemple : 2 + 3 = 5 et 3 + 2 = 5
Oui
car a + b = b + aExemple :
et
Oui
a x b = b x a
Exemple : 2 x 3 = 6 et 3 x 2 = 6
Associativité Oui
Exemple :
DémonstrationSoient trois réels a, b et c tels que
.
Alors
donc
.
Or,donc
.
Donc,De même,
donc
.
Or,donc
.
Donc,De plus,
car
.
On a prouvé que
.
Oui
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
Exemple:
(2 + 5) + 6 = 13
2 + (5 + 6) = 13
2 + 5 + 6 = 13Oui
Exemple :
Oui
(a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c
Exemple:
(2 x 5) x 6 = 60
2 x (5 x 6) = 60
2 x 5 x 6 = 60Élément neutre Pas d'élément neutre dans Pour disposer d'un élément neutre, on travaille dans
.
L'élément neutre est alors.
En effet,
.
0 En effet, a + 0 = a
0 En effet,
1 En effet, a x 1 = a
Élément symétrique de a Pas d'élément symétrique. -a En effet, a + (-a) = 0.
-a En effet,
.
En effet,
.
Élément absorbant Pas d'élément absorbant dans Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans
.
L'élément absorbant est alors.
En effet,
.
Pas d'élément absorbant. Pas d'élément absorbant. 0 En effet,
.
Distributivité est distributive par rapport à
. En effet,
et
est distributive par rapport à +. En effet
Dans Addition tropicale Addition Multiplication tropicale
(mêmes propriétés que l'addition usuelle)
Multiplication Il manque à la structure
l'élément neutre pour la première loi et l'existence d'élément symétrique pour la première loi pour que celle-ci soit un corps. On parle alors du semi-corps
.
Opérateur découlant des précédents
La puissance tropicale, que l'on notera
, avec a un réel et b un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle.
En effet,
.
Semi-corps min-plus
On peut définir une autre structure de semi-corps en prenant pour première loi le minimum au lieu du maximum.
Application au calcul des distances dans un graphe pour la structure min-plus
Si on ajoute à R l'élément
et qu'on munit l'ensemble de la structure min-plus, on peut utiliser la structure ainsi définie pour le calcul de plus courte distance dans un graphe.
On peut représenter un graphe pondéré à n sommets comme une matrice A = (ai,j) des distances entre chaque sommet: si le sommet i est lié avec le sommet j alors l'élément ai,j est égal au poids de l'arête (i,j), si les sommets i et j ne sont pas reliées alors ai,j correspond à l'infini (on a ai,i = 0).
Ainsi la distance entre i et j en passant par au plus un sommet est :
Ceci correspond au produit matriciel dans la structure min-plus. Ainsi pour calculer la longueur d'un plus court chemin d'un sommet à un autre, en au plus n étapes, dans le graphe, il suffit de calculer la puissance n de A pour cette structure.
Références
- Définition des mathématiques tropicales par leur inventeur Imre Simon, en ligne sur Scientific Commons
- Introduction à la géométrie tropicale, Ilia Itenberg, p. 2, Disponible en ligne.
Voir aussi
Article connexes
- On définit l'addition tropicale
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