Équation différentielle de bernoulli

Équation différentielle de Bernoulli

L'équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle du premier ordre de la forme :

$y'(x) + a(x)y(x)= b(x)y(x)^m \;$ avec m différent de 0 et 1.

Où $a,b:I \rightarrow \mathbb{R}$ et I est un intervalle ouvert. En général m est un entier naturel, mais on peut prendre m réel à condition de prendre y strictement positif. En général, a et b sont des fonctions continues.

Cette équation a été proposée à la résolution par Jacques Bernoulli en 1695 et résolue un an plus tard par Leibniz par changement de variable se ramenant à une équation différentielle linéaire. C'est la méthode encore employée aujourd'hui pour résoudre cette équation.

En supposant y strictement positif sur l'intervalle I, on peut diviser l'équation par $y m (x)$ et on obtient

$\frac{y'(x)}{y^m(x)} + a(x)\frac{1}{y^{m-1}(x)} = b(x)$

En posant

$u(x) = \frac{1}{y^{m-1}(x)}$

on obtient l'équation différentielle linéaire

$\frac{1}{1-m}u'(x) + a(x)u(x) = b(x)$

dont la solution générale est

$u(x) = e^{-(1-m)\int a(t)dt)}\left(C + (1-m)\int b(t)e^{(1-m)\int a(s)ds}dt\right)$

ce qui donne pour la fonction $y = u^{1\over 1-m}$

$y(x) = e^{- \int a(t)dt)}\left(C + (1-m)\int b(t)e^{(1-m)\int a(s)ds}dt\right)^{1 \over 1-m}$

Si la fonction y passe par le point $(x_0,y_0)\;$ alors la solution de cette équation est :

$y(x)= y_0 e^{-\int_{x_0}^{x} a(t)\, dt} \left(1+(1-m)y_0^{m-1} \int_{x_0}^{x} b(t)\left(e^{-\int_{x_0}^{t} a(s)\, ds}\right)^{m-1} \, dt\right)^{\frac{1}{1-m}}$

Des solutions peuvent être cherchées dans des fonctions non nécessairement positives, mais alors de nombreuses précautions sont à prendre quant aux domaines de validité.

Sources

une histoire des équations différentielles
Cours de mathématiques (Tome 4) de J.Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudies

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Catégorie : Équation différentielle

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