- Équation de liénard
-
Équation de Liénard
En mathématiques, notamment dans l'étude des systèmes dynamiques et des équations différentielles, une équation de Liénard est une équation différentielle d'une certaine forme. Un système régi par une telle équation est appelé système de Liénard.
Durant le développement des radios et des tubes à vide, les équations de Liénard furent beaucoup étudiées car elles permettaient de modéliser le comportement des circuits oscillants. Moyennant certaines hypothèses, le théorème de Liénard garantit l'existence d'un cycle limite pour de tels systèmes.
Sommaire
Définition
Soit f et g deux fonctions de classe sur , avec g une fonction impaire et f une fonction paire. Alors on appelle « équation de Liénard » l'équation différentielle :
- .
On peut l'écrire sous forme d'un système différentiel, c'est-à-dire d'une équation vectorielle d'ordre un en dimension deux. On pose :
- x1: = x
alors on appelle « système de Liénard » l'équation suivante :
- .
Exemple
L'oscillateur de Van der Pol, qui vérifie l'équation :
est un système de Liénard.
Théorème de Liénard
Étant donné un système de Liénard qui vérifie :
- ;
- ;
- F(x) possède une unique racine positive en a, F(x) < 0 pour 0 < x < a et F(x) > 0 ;
- F est monotone pour x > a .
Alors le système de Liénard possède un unique cycle limite stable, qui entoure l'origine.
Voir aussi
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liénard equation ».
Liens externes
Articles connexes
- Portail des mathématiques
Catégorie : Équation différentielle
Wikimedia Foundation. 2010.