- Équation de Schwinger-Dyson
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L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs. Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état | ψ > (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :
avec S la fonction d'action et
l'opération d'ordonnation du temps.D'une même manière, dans la formulation de l'état de densité, pour tout etat (valid) ρ, il y a :
Ces équations infinies peuvent être utilisées pour résoudre les fonctions de corrélation, sans perturbation.
On peut également réduire l'action S en la séparant : S[φ]=1/2 D-1ij φi φj+Sint[φ] avec pour premier terme la part quadratique et D-1 un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être ré-écrites ainsi :
Si F est une fonction de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si
et que G est une fonction de J, alors :
![F[-i\frac{\delta}{\delta J}]G[J]=(-i)^n \frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta}{\delta J(x_n)} G[J]](b/94b539ad33aa2bd4481415a6799b395c.png)
.
S'il y une fonction analytique Z (appelée fonction génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :
![\frac{\delta^n Z}{\delta J(x_1) \cdots \delta J(x_n)}[0]=i^n Z[0] <\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)>](4/c64101d69520da17cb253cbafd3d5197.png)
,
alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :
En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenue.
![<\psi|\mathcal{T}\{\frac{\delta}{\delta\phi}F[\phi]\}|\psi>=-i<\psi|\mathcal{T}\{F[\phi]\frac{\delta}{\delta\phi}S[\phi]\}|\psi>](2/ff2754cefe007911c0ae5ec5222a2d07.png)
![\rho(\mathcal{T}\{\frac{\delta}{\delta\phi}F[\phi]\})=-i\rho(\mathcal{T}\{F[\phi]\frac{\delta}{\delta\phi}S[\phi]\})](d/1bdf937b08b9e035080aea21f2df26f2.png)
![F[\phi]=\frac{\partial^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\phi(x_1)\cdots \frac{\partial^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\phi(x_n)](5/d852e4b9cfd279c320d01bf450e6f1b4.png)
![\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}[-i \frac{\delta}{\delta J}]Z[J]+J(x)Z[J]=0](4/b446939e3791d5f4fb064ca144514fb8.png)
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