Vote Condorcet

La méthode Condorcet (ou vote Condorcet) est un système de vote dans lequel l'unique vainqueur est celui, s'il existe, qui comparé tour à tour à tous les autres candidats, s'avèrerait à chaque fois être le candidat préféré.

Rien ne garantit la présence d'un candidat satisfaisant à ce critère. Ainsi, tout système de vote fondé sur la méthode comparative de Condorcet doit prévoir un moyen de résoudre les votes pour lesquels ce candidat idéal n'existe pas.

Cette méthode doit son nom au marquis de Condorcet, mathématicien et philosophe français du XVIII^e siècle, bien que la méthode fût déjà connue de Raymond Lulle (1299).

Sommaire 1 Motivation 1.1 Exemple 2 Déroulement du vote 3 Décompte des votes 4 Résolution des conflits 5 Exemples 5.1 Groupe de tête et moins mauvaise défaite 5.2 Classement des paires et graphe 6 La méthode Condorcet comparée au vote alternatif 7 Utilisation du vote de Condorcet 8 Ressources externes

Motivation

Dans son Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Condorcet met en évidence le fait que le vote à la pluralité peut très bien ne pas représenter les désirs des électeurs.

Exemple

Considérons une assemblée de 60 votants ayant le choix entre trois propositions a, b et c. Les préférences se répartissent ainsi (en notant a > b, le fait que a est préféré à b) :

23 votants préfèrent : a > c > b

19 votants préfèrent : b > c > a

16 votants préfèrent : c > b > a

2 votants préfèrent : c > a > b

Dans une procédure de vote pluraliste, a l’emporte avec 23 voix, sur b avec 19 voix et sur c avec 18 d’où a > b > c.

Dans les comparaisons majoritaires par paires, on obtient :

35 préfèrent b > a contre 25 pour a > b

41 préfèrent c > b contre 19 pour b > c

37 préfèrent c > a contre 23 pour a > c

Ce qui conduit à la préférence majoritaire c > b > a, l'opposé exact du résultat obtenu avec le choix pluraliste.

Il propose alors sa propre méthode tout en admettant que l'organisation très lourde qu'elle implique ne la rend pas très réaliste pour des élections importantes. Elle ne peut, selon lui, qu'être associée à un tri préalable des candidats pour en limiter le nombre. Il met de plus en évidence l'existence de situations où sa propre méthode ne permet pas de choisir à coup sûr le bon candidat. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Condorcet. Il existe plusieurs méthodes pour réduire les conflits générés dans ces situations.

Déroulement du vote

Chaque électeur classe les candidats par ordre de préférence.

Décompte des votes

Le dépouillement du scrutin consiste à simuler l'ensemble des duels possibles : pour chaque paire de candidats, on détermine le nombre d'électeurs ayant voté pour l'un ou l'autre en vérifiant, sur chaque bulletin de vote, comment l'un était classé par rapport à l'autre. Ainsi pour chaque duel, il y a un candidat vainqueur. Dans la plupart des cas, il y a un unique candidat qui remporte tous ses duels : il s'agit du vainqueur du scrutin. La section suivante décrit ce qui se passe dans les rares cas où aucun candidat ne remporte tous ses duels.

Résolution des conflits

Il arrive qu'aucun candidat ne soit élu à la suite du décompte des votes : Condorcet avait remarqué cet important paradoxe inhérent à la méthode, appelée le paradoxe de Condorcet : dans une élection, dès que le nombre des électeurs est supérieur à deux, A peut être préféré à B, lui même préféré à C, lui-même préféré à A. Plusieurs méthodes sont utilisables pour résoudre ce conflit de circularité.

1. on utilise la méthode Borda, il s'agit alors de la méthode Black
2. on utilise la méthode Schulze
3. on constitue un groupe de tête : un candidat appartient au groupe de tête si, lors du décompte des votes, il est parvenu à battre tous les autres candidats, sauf ceux du groupe de tête. Une fois ce groupe de tête défini, on procède à un choix dans ce groupe de tête
   1. en utilisant un vote alternatif
   2. en choisissant le candidat qui a le moins perdu dans sa plus mauvaise confrontation
   3. en éliminant au fur et à mesure ceux dont la défaite a été la plus faible
4. on cherche le candidat qui a gagné le plus de confrontations (mais il risque d'y avoir des ex-æquos)
5. on choisit directement celui qui a le moins perdu lors de sa plus mauvaise confrontation sans déterminer de groupe de tête
6. on classe les paires selon les plus grandes différences observées, on construit alors un graphe orienté (qui gagne contre qui ?) en commençant par la paire ayant la plus forte différence et en descendant dans l'échelle en éliminant les paires qui pourraient conduire à une boucle (paradoxe de Condorcet). Le graphe final permet de définir un gagnant. C'est la méthode Condorcet avec rangement des paires par ordre décroissant (Ranked pairs)

Le choix de la méthode doit être fixée avant le vote, ce choix ayant des conséquences sur la détermination du vainqueur.

Exemples

Groupe de tête et moins mauvaise défaite

Lors d'une élection, 3 candidats (X, Y et Z) se retrouvent dans le groupe de tête. Les résultats des votes pour ces 3 candidats sont  :

• 41 électeurs ont voté pour 1^er =X; 2^e=Y; 3^e=Z
• 33 électeurs ont voté pour 1^er =Y; 2^e=Z; 3^e=X
• 22 électeurs ont voté pour 1^er =Z; 2^e=X; 3^e=Y

Lorsque l'on effectue les comparaisons par paires,

  X: contre Y = 41+22-33 = +30 (donc X gagne par 30 votes)
     contre Z = 41-33-22 = -14 (donc X perd par 14 votes)
  Y: contre X = -30
     contre Z = 52
  Z: contre X = 14
     contre Y = -52

X gagne donc, puisque son plus mauvais résultat (-14) est meilleur que ceux de Y et Z (respectivement -30 et -52)

Classement des paires et graphe

Reprenons l'exemple précédent et ajoutons un quatrième candidat T. Imaginons que

• 41 électeurs ont voté pour 1^er =X; 2^e=Y; 3^e=T; 4^e = Z
• 33 électeurs ont voté pour 1^er =Y; 2^e=Z; 3^e=T; 4^e = X
• 22 électeurs ont voté pour 1^er =Z; 2^e=X; 3^e=T; 4^e = Y

Le classement des paires donne

• Y gagne contre Z et Y gagne contre T (52)
• X gagne contre Y (30)
• X gagne contre T, Z gagne contre X, Z gagne contre T (14)

La constitution du graphe se fait dans l'ordre : Y > Z et Y > T, puis X > Y (pas de cycle), puis on élimine Z > X qui constituerait une boucle, on conserve X > T et Z > T. Le gagnant est alors X car X > Y > Z > T.

La méthode Condorcet comparée au vote alternatif

Le vote alternatif est un autre système de vote par classement utilisé principalement en Australie. Il arrive que le vote alternatif ne donne pas le même résultat que la méthode de Condorcet.

Cependant, s'il existe un gagnant de Condorcet sans conflit, c'est-à-dire un candidat mieux placé que tous ses adversaires, et si on suppose que les votes ont été sincères et non stratégiques, la confrontation entre le gagnant de Condorcet et le gagnant du vote alternatif lors d'un simple scrutin majoritaire tournera évidemment à l'avantage du gagnant de Condorcet. Mais est-ce toujours le cas s'il a fallu résoudre des conflits ?…

Utilisation du vote de Condorcet

Cette méthode n'est pas utilisée actuellement dans des élections nationales. Elle commence cependant à être utilisée dans certaines organisations publiques. Parmi elles, on peut trouver :

• Des projets dans le domaine du logiciel libre (Debian, Software in the Public Interest, Gentoo, UserLinux) qui utilisent la méthode Schulze.
• Le « Free State Project »
• La procédure de vote pour la hiérarchie uk.* d'Usenet
• Five-Second Crossword Competition
• Le réseau libre-entreprise

Ressources externes

• (fr) L’expérience démocratique
• (en) Condorcet's Method
• (en) Ranked Pairs
• (en) Calculateur en ligne de résultats par méthode Condorcet