Tronc (géométrie)

Tronc (géométrie)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Tronc.

Un tronc est la partie d'un solide qui se trouve (qui « reste ») entre deux plans parallèles. Le solide est généralement un cône ou une pyramide.

Les faces du solide obtenues dans les plans de coupe sont appelées bases du tronc, et la distance entre les deux plans de coupe est la hauteur du tronc.

Le volume d'un tronc est le produit de sa hauteur par la moyenne arithmétique des aires de ses bases et de leur moyenne géométrique. Le volume V du tronc s’exprime par la formule générale :

  • V\ =\ \frac{h}{3} \times (B_1 + \sqrt{B_1 \times B_2} + B_2),

où h est la hauteur du tronc entre les deux plans parallèles, et B1 et B2 sont les aires des bases du tronc (contenues dans les plans parallèles de coupe du solide. Par exemple, pour calculer le volume d'un tronc de cône orthogonal :

  • V\ =\ \frac{\pi h}{3} \times (r_1^2 + r_1 \times r_2 + r_2^2),

où h est la distance séparant les plans, et r1 et r2 sont les rayons des deux bases circulaires.

Un autre moyen équivalent, facile à mémoriser, et plus intuitif, est de calculer le volume du cône ou de la pyramide avant d’en couper le sommet, et de retrancher le volume du cône ou de la pyramide coupé au sommet. Il faut alors déterminer la hauteur h0 du premier cône non tronqué, et retenir les formules de calcul du volume d'un cône ou d'une pyramide, qui sont des cas dégénérés de cette précédente formule :

Ces cas sont obtenus pour les solides finis en les coupant avec un plan seulement. Dans ce cas, le deuxième plan passe par le sommet de la pyramide ou cône et la deuxième base a une aire nulle  la formule se simplifie en :

  • V\ =\ \frac{h_0 \times B_1}{3}, où h et h0 sont égaux.

D’autres cas dégénérés de la formule principale existent avec des volumes, parfois appelés tronçons car les solides coupés sont infinis tels que les parallélépipèdes, troncs cylindriques ou troncs de cylindroïdes, dont toutes les faces (ou droites génératrices) sont parallèles à un même vecteur directeur, à l’exception de deux faces par lesquelles passent les plans de coupe parallèles ; dans ce cas les deux bases parallèles de coupe ont des aires égales, et la formule se simplifie en :

  • V\ =\ h \times B_1,

où B1 est l’aire d’une des deux bases parallèles de coupe et h est la distance entre les deux plans de coupe (mesurée orthogonalement à ces plans).

La formule peut être employée pour calculer le volume de n'importe quel polyèdre en le découpant d'abord en une suite de troncs (ou de tétraèdres qui sont des troncs dégénérés pyramidaux, à base unique triangulaire) et en addditionnant leur volumes respectifs : il suffit de choisir une face quelconque et de couper le polyèdre avec un plan parallèle à cette face et passant par un sommet du polyèdre n’appartenant à aucune face parallèle à la face choisie.

Voir aussi

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Tronc (géométrie) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Géométrie en Égypte antique — Géométrie dans l Égypte antique Cet article fait partie de la série Sciences dans l Égypte antique Mathématiques Géométrie Unités de mesure Chiffres Fraction …   Wikipédia en Français

  • GÉOMÉTRIE — La géométrie est communément définie comme la science des figures de l’espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait… …   Encyclopédie Universelle

  • Geometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • Géometrie — Géométrie La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, aux figures de d autres types d espaces (géométrie projective, géométrie non… …   Wikipédia en Français

  • Géométrie dans l'Égypte antique — Si la réputation des scribes en matière de mathématiques est, d ordre général, inférieure à celle des Babyloniens ou des Grecs, la géométrie, au regard des prouesses techniques réalisées très tôt dans leur histoire, fut leur domaine de… …   Wikipédia en Français

  • TRONC — n. m. Corps d’un arbre, tige considérée sans les branches. Un tronc d’arbre. On a coupé toutes les branches, il ne reste plus que le tronc. Le tronc de cet arbre est creux. Le tronc est pourri. En termes d’Anatomie, il se dit de l’Origine, de la… …   Dictionnaire de l'Academie Francaise, 8eme edition (1935)

  • Géométrie — Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du XVIIIe siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d autres types d… …   Wikipédia en Français

  • Tronc — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Tronc », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Un tronc peut être : un tronc, la partie… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”