Transformée en ondelettes continue

Une transformée en ondelettes continue associe à une fonction de carré sommable sur $\mathbb{R}^n$ l'ensemble de ses produits scalaires avec les membres d'une famille d'ondelettes continue.

Par exemple, lorsque $n = 1$ , la transformée en ondelette continue d'une fonction $f\in L^2(\mathbb{R})$ est donnée par :

$X(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|(a)|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right)\, dt$

Ou $ψ$ est l'ondelette mère, $*$ désigne le complexe conjugué, b est le facteur de translation et a le facteur de dilatation. Pour retrouver le signal x d'origine on utilise la transformée en ondelette continue donnée par :

$x(t) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|^{5/2}} X(a,b) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) da \; db$

Où

$C= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\Psi(\omega)|^2}{|\omega|^2} d\omega$

Et $Ψ$ est la transformée de Fourrier de $ψ$ .

Voir aussi

Références

Ding, Jian-Jiun (2008) Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform

http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm

Polikar, Robi (2001) The Wavelet Tutorial

http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

WaveMetrics (2004) Time Frequency Analysis

http://www.wavemetrics.com/products/igorpro/dataanalysis/signalprocessing/timefrequency.htm

Valens, Clemens (2004) A Really Friendly Guide to Wavelets

http://pagesperso-orange.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html#section7

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Catégories : Traitement du signal | Transformée

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