Théorème de récurrence de Poincaré

Théorème de récurrence de Poincaré

Le théorème de récurrence de Poincaré (1890) dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Sommaire

Énoncé moderne

Système dynamique

Soit un système dynamique au sens de la théorie ergodique, c’est-à-dire un triplet (X,μ,ϕ) où :

  • \phi : X \to X est une application préservant la mesure μ, c’est-à-dire telle que :
\forall \ A \subset X \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)

Récurrence d'un point

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Un point x \in A est dit récurrent par rapport à A si et seulement si \forall p \in \mathbb N ,il existe un entier k \ge p pour lequel :

\phi^k(x) \ \in \ A

Théorème de récurrence de Poincaré

Énoncé

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable pour une mesure μ finie. Alors, presque tous les points x_0 \in A sont récurrents par rapport à A.

Démonstration

Soit p\in\mathbb{N}. On peut définir l'ensemble :

U_p \ = \ \phi^{-p}(A) \ \cup \ \phi^{-p-1}(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^{-k}(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=p}^{+\infty} \ \phi^{-k}(A)

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

\mu(U_p) \ \le \ \mu(X) \ < \ + \ \infty

C'est aussi un sous-ensemble de l'ensemble U0 correspondant au cas particulier p = 0 :

U_p \ \subset \ U_0

où :

U_0 \ = \ A \ \cup \ \phi^{-1}(A) \ \cup \ \dots \ \cup \ \phi^{-k}(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=0}^{+\infty} \ \phi^{-k}(A)

En remarquant qu'on peut écrire :

U_p \ = \ \phi^{- \, p}(U_0)

on en déduit que :

\mu(U_p) \ = \ \mu(\phi^{- \, p}(U_0)) \ = \ \mu(U_0)


la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Le sous-ensemble Up possède donc la même mesure que l'ensemble U0 ; on en déduit que le complémentaire à Up dans U0 est de mesure nulle :

\mu(U_0 \backslash U_p) \ = \ 0

Comme A\subset U_0, on en déduit

\mu \left( \ \left\{ \ x \in A \quad \mathrm{et} \quad x \notin U_p \ \right\} \ \right) \ = \ 0

Autrement dit, l'ensemble des points x de A tels que \phi^k(x)\notin A pour tout k\geq p est de mesure nulle.

En conclusion, en tant que réunion dénombrable des ensembles précédents pour p\in\mathbb{N}, l'ensemble de points x\in A non récurrents par rapport à A est de mesure nulle.

Articles connexes

Bibliographie

  • Henri Poincaré ; Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Mathamatica 13 (1890), 1-270. Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques[1]. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire e.g. : June Barrow-Green ; Poincaré & the three-body problem, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).

Notes

  1. ↑ Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite.

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