Théorème de factorisation de Weierstrass

Théorème de factorisation de Weierstrass
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En mathématiques, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par leurs zéros.

Le théorème de factorisation de Weierstrass

Du développement en série entière suivant pour u\in\; ]-1;1[ :

\ln(1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\ldots-\frac{u^n}{n}-\ldots

on déduit que la fonction tronquée aux n premiers termes

E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m},

est sensiblement égale à 1 sur [-1,1], sauf dans un voisinage de u=1 où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs E(u,m) sont appelés facteurs primaires de Weiestrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière f d'ordre fini ρ et s'annulant sur les nombres complexes a_n \neq 0 ; il existe un polynôme P(s) de degré inférieur ou égal à ρ, et un entier m \le \rho tels que l'on ait

f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right).

Le facteur sp n'est là que pour les fonctions ayant un zéro d'ordre p en 0.

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre ρ si ρ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur ρ ou la valeur ρ − 1 si l'ordre ρ est entier. L'entier m est majoré par ρ. L'un des deux entiers au moins est égal à ρ si l'ordre est entier.

Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini ρ s'énonce ainsi

« Pour toute fonction méromorphe f(s) d'ordre fini ρ il existe deux entiers m1 et m2 plus petits que ρ, et un polynôme q(s) de degré inférieur à ρ tels que f(s)=e^{q(s)}\frac{p_1(s)}{p_2(s)}, où p1(s) et p2(s) sont des produits de fonctions canoniques d'ordres m1 et m2 batis sur les zéros ai et les pôles bi de f. p_1(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{a_n},m_1\Big)}, p_2(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\Big(\frac{s}{b_n},m_2\Big)}, avec E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}. »

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant:

«  toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières. »


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de factorisation de Weierstrass de Wikipédia en français (auteurs)

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